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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 So 08.07.2007 | | Autor: | kiriS |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{\bruch{-\pi}{2a}}^{\bruch{\pi}{2a}}{lna \cdot cosax dx} [/mm] |
Hallo Zusammen,
wie geh ich am besten vor, um das gegebene Integral zu lösen?? Muss ich da partiell integrieren?
Wäre für Tipps sehr dankbar.
Vielen lieben Dank im voraus
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> [mm]\integral_{\bruch{-\pi}{2a}}^{\bruch{\pi}{2a}}{lna \cdot cosax dx}[/mm]
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> Hallo Zusammen,
Hi!
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> wie geh ich am besten vor, um das gegebene Integral zu
> lösen?? Muss ich da partiell integrieren?
>
Nein. [mm] $\ln [/mm] a$ stellt hier einen harmlosen konstanten Vorfaktor dar, was die Sache enorm vereinfacht. Die Stammfunktion von [mm] $\cos [/mm] x$ ist ... ? Stichwort, um das $a$ zu bekämpfen: Kehrwert.
> Wäre für Tipps sehr dankbar.
>
Schau' einfach mal, ob das an Tipps genügt.
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> Vielen lieben Dank im voraus
Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 So 08.07.2007 | | Autor: | kiriS |
Bilde ich dann einfach zu lna die Stammfunktion?
Also [mm] \bruch{1}{a} \cdot [/mm] lna ?
Die Stammfunktion von cosx ist sinx. Aber ich versteh das Vorgehen zu a nicht so ganz. Könntest du es bitte vielleicht näher erläutern.
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> Bilde ich dann einfach zu lna die Stammfunktion?
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Nein, das ist einfach eine Zahl. Du kennst ja vom Ableiten die Faktorregel [mm] $f(x)=c*g(x)\quad\Rightarrow\quad [/mm] f'(x)=c*g'(x)$ Daher kannst du einfach das [mm] $\ln [/mm] a$ völlig außer Acht lassen und vor das Integral ziehen:
[mm] $$\ln a*\int\cos\left(ax\right)\,\mathrm{d}x$$
[/mm]
Nun mal überlegen: [mm] $f(x)=\sin [/mm] x$, also [mm] $f'(x)=\cos [/mm] x$. Wenn [mm] $f(x)=\sin\left(ax\right)$ [/mm] ist, dann ist $f'(x)$ gemäß Kettenregel [mm] $=\cos\left(ax\right)*a$. [/mm] Hier stört uns also noch das hinzugekommene $a$. Daher einfach den Kehrwert [mm] $\bruch{1}{a}$ [/mm] noch einbauen und fertig ist die Geschichte. Kommst du jetzt klar?
> Also [mm]\bruch{1}{a} \cdot[/mm] lna ?
>
Noch nebenbei: Die Stammfunktion von [mm] $\ln [/mm] x$ wäre [mm] $x*\ln [/mm] x-x$, das kann man via partieller Integration herleiten. Die Ableitung von [mm] $\ln [/mm] x$ ist übrigens [mm] $\bruch{1}{x}$, [/mm] dessen Stammfunktion aber wiederum [mm] $\ln\left|x\right|$.
[/mm]
> Die Stammfunktion von cosx ist sinx. Aber ich versteh das
> Vorgehen zu a nicht so ganz. Könntest du es bitte
> vielleicht näher erläutern.
Stefan.
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