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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 Di 27.02.2007 | | Autor: | dauwer |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Berechnen Sie die Integrale
(i) $\integral_{0}^{2}{\bruch{x}{\wurzel{4x+1}} dx}$, (ii)$\integral_{0}^{ln2}{\bruch{e^{-x}-e^{-3x}}{e^{-2x}+1}} dx}$ |
Ich würde gerne diese beiden Integrale lösen, komme aber bei beiden nicht weiter.
Beim Integral (i) habe ich es mit partieller Integration versucht:
$$\integral_{0}^{2}{x (4x+1)^{-1/2} dx}$$
Ich habe $f(x)=(4x+1)^{-1/2}$ und $g(x)=x$ gewählt und somit $F(x)=2(4x+1)^{1/2}$ und $g'(x)=1$ erhalten.
Anschliessend sieht das Intergral dann folgendermassen aus:
$$[2\wurzel{4x+1}x]_{0}^{2} - 2\integral_{0}^{2}{\wurzel{4x+1}}dx}$$
Leider weiss ich dann nicht mehr weiter...
Beim Integral (ii) habe ich die Substitutionsregel verwendet und $t=e^{-x}$ gesetzt. Somit gilt: $x=-lnt$, $dx=-\bruch{1}{t}dt$ und für die Grenzen erhalte ich $x=0~\Rightarrow~t=1$ und $x=ln2~\Rightarrow~t=\bruch{1}{2}$
Somit erhalte ich dann für das Integral: $$-\integral_{1}^{1/2}{\bruch{t-t^{3}}{t^{2}+1}\bruch{1}{t}dt~ =~\integral_{1/2}^{1}{\bruch{1-t^{2}}{t^{2}+1}dt}$$
Dann komme ich auch hier ins stocken...
Ich hoffe einer von euch kann mir hier weiterhelfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:08 Mi 28.02.2007 | | Autor: | dauwer |
Aufgabenteil (i) ist jetzt klar, Danke!
> Beim Integral (ii) habe ich die Substitutionsregel
> verwendet und [mm]t=e^{-x}[/mm] gesetzt. Somit gilt: [mm]x=-lnt[/mm],
> [mm]dx=-\bruch{1}{t}dt[/mm] und für die Grenzen erhalte ich
> [mm]x=0~\Rightarrow~t=1[/mm] und [mm]x=ln2~\Rightarrow~t=\bruch{1}{2}[/mm]
> Somit erhalte ich dann für das Integral:
>
> [mm]-\integral_{1}^{1/2}{\bruch{t-t^{3}}{t^{2}+1}\bruch{1}{t}dt~ =~\integral_{1/2}^{1}{\bruch{1-t^{2}}{t^{2}+1}dt}[/mm]
>
>
> Dann komme ich auch hier ins stocken...
>
>
> [mm]\integral{\bruch{1-t^{2}}{t^{2}+1}dt}=\integral{\bruch{1}{t^{2}+1}dt}-\integral{\bruch{t^2}{t^2+1}dt}=\integral{\bruch{1}{t^{2}+1}dt}-\integral\left(1-{\bruch{1}{t^{2}+1}\right)dt}=...[/mm]
>
Der Schritt [mm] $\integral{\bruch{1}{t^{2}+1}dt}-\integral{\bruch{t^2}{t^2+1}dt}=\integral{\bruch{1}{t^{2}+1}dt}-\integral\left(1-{\bruch{1}{t^{2}+1}\right)dt}$ [/mm] ist mir nicht klar, da ich nicht weiss wie du von [mm] $\integral{\bruch{t^2}{t^2+1}dt}$ [/mm] auf [mm] $\integral\left(1-{\bruch{1}{t^{2}+1}\right)dt}$ [/mm] kommst. Leider kriege ich auch die Integration von [mm] \bruch{1}{t^{2}+1} [/mm] nicht hin...
>
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> Ich hoffe einer von euch kann mir hier weiterhelfen.
>
> ich hoffe es 
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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> Der Schritt
> [mm]\integral{\bruch{1}{t^{2}+1}dt}-\integral{\bruch{t^2}{t^2+1}dt}=\integral{\bruch{1}{t^{2}+1}dt}-\integral\left(1-{\bruch{1}{t^{2}+1}\right)dt}[/mm]
> ist mir nicht klar, da ich nicht weiss wie du von
> [mm]\integral{\bruch{t^2}{t^2+1}dt}[/mm] auf
> [mm]\integral\left(1-{\bruch{1}{t^{2}+1}\right)dt}[/mm] kommst.
Hallo,
das ist ein immer wieder gern verwendeter "Trick":
[mm] \bruch{t^2}{t^2+1}=\bruch{t^2+1-1}{t^2+1}=\bruch{t^2+1}{t^2+1}-\bruch{1}{t^2+1}
[/mm]
> Leider kriege ich auch die Integration von
> [mm]\bruch{1}{t^{2}+1}[/mm] nicht hin...
Das kriegt man am besten hin, wenn man weiß (oder nachschaut), daß
[mm] (artanx)'=\bruch{1}{x^2+1} [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
gewählt und somit
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
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