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Hallo,
folgendes Integral soll gelöst werden [mm] (m\not=n; m\wedge n\in\IN)
[/mm]
[mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{sin(mx)*sin(nx)dx}
[/mm]
Additionstheorem:
[mm] \integral{\br{1}{2}(cos(mx-nx)-cos(mx+nx))dx}
[/mm]
[mm] \br{1}{2}\integral{cos(mx-nx)dx}-\br{1}{2}\integral{cos(mx+nx) dx}
[/mm]
Substitution:
u=(m-n)x [mm] \Rightarrow dx=\bruch{du}{m-n}
[/mm]
v=(m+n)x [mm] \Rightarrow dx=\br{dv}{m+n}
[/mm]
[mm] \br{1}{2}\integral{cos(u)\br{du}{m-n}}-\br{1}{2}\integral{cos(v)\br{dv}{m+n}}
[/mm]
[mm] -\br{sin((m-n)x)}{2(m-n)}+\br{sin((m+n)x)}{2(m+n)}
[/mm]
Das sollte das Stammintegral sein... Jetzt muss irgendwie noch m und n verschwinden... Die Lösung laut Lösungsbuch ist null... Hat jemand eine Idee wie es weitergeht?
LG und besten Dank im Voraus...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Sa 15.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> folgendes Integral soll gelöst werden [mm](m\not=n; m\wedge n\in\IN)[/mm]
>
> [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{sin(mx)*sin(nx)dx}[/mm]
Hallo,
die Sinusfunktion (und auch das Produkt deiner beiden Sinusfunktionen) ist ursprungssymmetrisch. Damit gilt [mm]\integral_{-c}^{0}{sin(mx)*sin(nx)dx}=-\integral_{0}^{c}{sin(mx)*sin(nx)dx}[/mm] und somit
[mm]\begin{matrix}{\integral_{-c}^{c}{sin(mx)*sin(nx)dx}=\integral_{-c}^{0}{sin(mx)*sin(nx)dx}+\integral_{0}^{c}{sin(mx)*sin(nx)dx}\\=-\integral_{0}^{c}{sin(mx)*sin(nx)dx}+\integral_{0}^{c}{sin(mx)*sin(nx)dx}=0\end{matrix} [/mm]
Gruß Abakus
>
> Additionstheorem:
>
> [mm]\integral{\br{1}{2}(cos(mx-nx)-cos(mx+nx))dx}[/mm]
>
> [mm]%5Cbr%7B1%7D%7B2%7D%5Cintegral%7Bcos(mx-nx)dx%7D-%5Cbr%7B1%7D%7B2%7D%5Cintegral%7Bcos(mx%2Bnx)%20dx%7D[/mm]
>
> Substitution:
>
> u=(m-n)x [mm]\Rightarrow dx=\bruch{du}{m-n}[/mm]
>
> v=(m+n)x [mm]\Rightarrow dx=\br{dv}{m+n}[/mm]
>
> [mm]\br{1}{2}\integral{cos(u)\br{du}{m-n}}-\br{1}{2}\integral{cos(v)\br{dv}{m+n}}[/mm]
>
> [mm]-\br{sin((m-n)x)}{2(m-n)}+\br{sin(m+n)x}{2(m+n)}[/mm]
>
> Das sollte das Stammintegral sein... Jetzt muss irgendwie
> noch m und n verschwinden... Die Lösung laut
> Lösungsbuch ist null... Hat jemand eine Idee wie es
> weitergeht?
>
> LG und besten Dank im Voraus...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Sa 15.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
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> [mm]\br{1}{2}\integral{cos(u)\br{du}{m-n}}-\br{1}{2}\integral{cos(v)\br{dv}{m+n}}[/mm]
>
> [mm]-\br{sin((m-n)x)}{2(m-n)}+\br{sin((m+n)x)}{2(m+n)}[/mm]
>
> Das sollte das Stammintegral sein... Hat jemand eine Idee wie es
> weitergeht?
>
Du musst die Integrationsgrenzen einsetzen.
Es schadet übrigens nichts, wenn du vorher noch die Vorzeichenfehler korrigierst.
Gruß Sax.
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O.K. Wenn ich die Integrationsgrenzen einsetze und für m und n natürliche Zahlen dann komme ich auf null... Aber wäre es nicht eleganter wenn m und n verschwinden?
LG
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Hallo sonic5000,
> O.K. Wenn ich die Integrationsgrenzen einsetze und für m
> und n natürliche Zahlen dann komme ich auf null... Aber
> wäre es nicht eleganter wenn m und n verschwinden?
>
Nein.
Folgende Überlegung:
Wenn [mm]m,n \in \IN[/mm] dann ist [mm]m-n \in ?[/mm] bzw. [mm]m+n \in ?[/mm]
Somit ist
[mm]\sin\left(\left(m-n\right)*\pi\right)= \ ....[/mm]
[mm]\sin\left(\left(m+n\right)*\pi\right)= \ ....[/mm]
> LG
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Sa 15.02.2014 | | Autor: | abakus |
> O.K. Wenn ich die Integrationsgrenzen einsetze und für m
> und n natürliche Zahlen dann komme ich auf null... Aber
> wäre es nicht eleganter wenn m und n verschwinden?
>
> LG
Hallo,
das ist ein Widerspruch in sich:
etwas "Elegenteres" zu fordern und gleichzeitig auf sturem Einsetzen von irgendwelchen Werten m und n in eine mit völlig überflüssigem Aufwand hergeleitete Formel oder Stammfunktion zu beharren.
Ich möchte wetten, dass die Aufgabe genau aus dem Grund gestellt wurde, um euch die enormen Vereinfachungsmöglichkeiten in solchen Aufgaben zu demonstrieren.
Gruß Abakus
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