Integration < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
es soll eine gebrochenrationale Funktion integriert werden... Wenn ich nun doppelte Nullstellen im Nenner habe fehlen mir doch Werte für das lineare Gleichungssystem zur Ermittlung der Koeffizienten. Wo bekomme ich die dann her?
LG und besten Dank im Voraus...
|
|
| |
|
Hallo sonic,
du meinst sicherlich die Partialbruchzerlegung.
Du bekommst die Koeff. durch Koeffizientenvergleich. Vielleicht hast du ein Beispiel, wo man das ganze mal exakt durchexerzieren kann?
Mal das "Allgemeine vorgehen bisschen plump aufgeschrieben"
Sei mal p(x) Poylnom zweiten Grades und [mm] a,b\in\IR [/mm] dessen Nullstellen. Dann machst du folgenden Ansatz:
[mm] \frac{1}{p(x)}=\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}
[/mm]
Nun multiplizierst du die Gleichung mit (x-a)(x-b) durch und führst dann den Koeff.vergleich Ordnung für Ordnung durch.
Ich hoffe das beantwortet deine Frage. Ich fand die Frage sehr allgemein. Vielleicht kannst du noch einmal durch ein Beispiel illustrieren, wo genau die Frage entsteht, falls ich hier doch am Thema vorbeigeredet habe 
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo sonic,
ich nehme an, Du meinst doppelte Nullstellen so, dass ein quadratischer Faktor in der Zerlegung vorkommt, also z.B. so:
[mm] P(x)=\bruch{x^2+3x+3}{(x-1)(x+1)^2}
[/mm]
Der Ansatz ist hier so: [mm] P(x)=\br{A}{x-1}+\br{B}{x+1}+\br{C}{(x+1)^2}
[/mm]
Wenn ein Faktor in noch höherer Potenz vorkommt, brauchst Du im Ansatz für jede Potenz einen eigenen Term.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
> Hallo sonic,
>
> ich nehme an, Du meinst doppelte Nullstellen so, dass ein
> quadratischer Faktor in der Zerlegung vorkommt, also z.B.
> so:
Genau das meine ich...
>
> [mm]P(x)=\bruch{x^2+3x+3}{(x-1)(x+1)^2}[/mm]
>
> Der Ansatz ist hier so:
> [mm]P(x)=\br{A}{x-1}+\br{B}{x+1}+\br{C}{(x+1)^2}[/mm]
Soweit klar...
Dann aber:
[mm] x^2+3x+3=A*(x+1)^2+B*(x^2-1)+C(x-1)
[/mm]
Jetzt hab ich ja drei Variablen aber nur zwei Nullstellen (1 und -1)... Wie komme ich an den dritten Wert um das Gleichungssystem zu lösen?
LG und besten Dank im Voraus...
>
> Wenn ein Faktor in noch höherer Potenz vorkommt, brauchst
> Du im Ansatz für jede Potenz einen eigenen Term.
>
> Grüße
> reverend
|
|
|
| |
|
Hallo sonic5000,
> > Hallo sonic,
> >
> > ich nehme an, Du meinst doppelte Nullstellen so, dass ein
> > quadratischer Faktor in der Zerlegung vorkommt, also z.B.
> > so:
>
> Genau das meine ich...
> >
> > [mm]P(x)=\bruch{x^2+3x+3}{(x-1)(x+1)^2}[/mm]
> >
> > Der Ansatz ist hier so:
> > [mm]P(x)=\br{A}{x-1}+\br{B}{x+1}+\br{C}{(x+1)^2}[/mm]
>
> Soweit klar...
>
> Dann aber:
>
> [mm]x^2+3x+3=A*(x+1)^2+B*(x^2-1)+C(x-1)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetzt hab ich ja drei Variablen aber nur zwei Nullstellen
> (1 und -1)... Wie komme ich an den dritten Wert um das
> Gleichungssystem zu lösen?
Ich halte gar nix von dieser Zuhaltemethode.
Multipliziere rechterhand aus und sortiere nach Potenzen von [mm]x[/mm].
Dann kannst du mit der linken Seite einen Koeffizientenvergleich machen.
Linkerhand: [mm]\red{1}\cdot{}x^2+\blue{3}\cdot{}x+\green 3[/mm]
Rechterhand (modulo Rechenfehler): [mm]\red{(A+B)}\cdot{}x^2+\blue{(2A+C)}\cdot{}x+\green{(A-B-1)}[/mm]
Das liefert dir drei Gleichungen, um die drei Unbekannten [mm]A,B,C[/mm] zu berechnen ...
>
> LG und besten Dank im Voraus...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
