Integrat. durch Transformation < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Mi 21.12.2011 | | Autor: | Okus |
| Aufgabe | Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] mit 0<a<b, bezeichne A die Kugelschale [mm] A:=\{ x \in \IR^{3} | a \le ||x|| \le b \} [/mm] und sei p [mm] \in \IR^{3}\A.
[/mm]
Berechnen Sie das Integral [mm] \integral_{A}{\bruch{d\lambda_{3}(x)}{||x-p||}} [/mm] |
Hallo liebe Mathematiker,
ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe. Ich nehme an, dass man sie mit der Transformationsformel lösen kann. Ich habe es schon mit der Transformation auf Zylinderkoordinaten versucht - und gescheitert. Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank,
Okus
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Hallo Okus,
> Seien a,b [mm]\in \IR[/mm] mit 0<a<b, bezeichne A die Kugelschale
> [mm]A:=\{ x \in \IR^{3} | a \le ||x|| \le b \}[/mm] und sei p [mm]\in \IR^{3}\A.[/mm]
>
> Berechnen Sie das Integral
> [mm]\integral_{A}{\bruch{d\lambda_{3}(x)}{||x-p||}}[/mm]
> Hallo liebe Mathematiker,
>
> ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe. Ich nehme an, dass
> man sie mit der Transformationsformel lösen kann. Ich habe
> es schon mit der Transformation auf Zylinderkoordinaten
> versucht - und gescheitert. Kann mir jemand weiterhelfen?
>
Da es sich hier um eine Kugelschale handelt,
ist hier die Transformation in Kugelkoordinaten angebracht.
> Vielen Dank,
> Okus
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mi 21.12.2011 | | Autor: | Okus |
Ich habe es nun mit der Transformation auf Kugelkoordinaten versucht. Im Nenner befindet sich jedoch ein ungeheuer großer Term, den man vielleicht einmal in Richtung des Radius integrieren kann; dann hört es aber auch schon auf. Ich glaube, es gibt einen Trick bei der Sache, den ich noch nicht durchschaut habe.
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Hallo okus,
transformiere zuerst z=x-p (das Integral ändert sich nicht, da es translationsinvariant ist).
Dann kannst Du in Kugelkoordinaten transformieren.
Wenn Du damit Probleme haben solltest, poste deine Rechenschritte.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Mi 21.12.2011 | | Autor: | Okus |
Also gilt
[mm] \integral_{A}{\bruch{d\lambda_{3}(x)}{||x-p||}} [/mm] =$ [mm] \integral_{A}{\bruch{d\lambda_{3}(x)}{||x||}} [/mm] $
wenn ich dich richtig verstanden habe?
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Hallo Okus,
> Also gilt
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> [mm]\integral_{A}{\bruch{d\lambda_{3}(x)}{||x-p||}}[/mm] =[mm] \integral_{A}{\bruch{d\lambda_{3}(x)}{||x||}}[/mm]
>
> wenn ich dich richtig verstanden habe?
Das ist nicht ganz richtig, denn mit einer
Transformation ändert sich auch der Integrationsbereich.
Korrekterweise müßte hier stehen:
[mm]\integral_{A}{\bruch{d\lambda_{3}(x)}{||x-p||}}[/mm] =[mm] \integral_{A\blue{'}}{\bruch{d\lambda_{3}(x)}{||x||}}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Mi 21.12.2011 | | Autor: | Okus |
Ok dann müsste, wenn [mm] x:=\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] und [mm] p:=\vektor{a \\ b \\ c} [/mm] ist,
$ [mm] A':=\{ x \in \IR^{3} | a \le \wurzel{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2} \le b \} [/mm] $
gelten, oder? Sollte ich jetzt mit Kurgelkoordinatentransformation weitermachen oder ist es eher ohne zu empfehlen? Der Kram unter der Wurzel ist ja scheußlich.
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Hallo Okus,
> Ok dann müsste, wenn [mm]x:=\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] und
> [mm]p:=\vektor{a \\ b \\ c}[/mm] ist,
>
> [mm]A':=\{ x \in \IR^{3} | a \le \wurzel{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2} \le b \}[/mm]
>
Es war doch
[mm]A:=\{ x \in \IR^{3} | a \le ||x|| \le b \}[/mm]
Durch die Transformation x:=z+p geht der Bereich über in
[mm]A':=\{ z \in \IR^{3} | a \le ||z+p|| \le b \}[/mm]
> gelten, oder? Sollte ich jetzt mit
> Kurgelkoordinatentransformation weitermachen oder ist es
> eher ohne zu empfehlen? Der Kram unter der Wurzel ist ja
> scheußlich.
Benutze weiter Kugelkoordinaten.
Gruss
MathePower
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