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Integralsatz von Stokes nachwe: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:05 Mi 16.04.2008
Autor: user0009

Aufgabe
Weise Sie den Integralsatz von Stokes auf das Kurvenintegral [mm] \integral_{C}^{}{xy dx + yz dy +xz dz} [/mm] nach, wobei C die Berandung der Fläche O={(x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] | z = [mm] x^2-y^2, [/mm] |x| <= 1, |y| <=1} bezeichnet.

Ich habe möchte eigentlich nur wissen, ob die Parametrisierung stimmt und wenn nicht, wie sie richtig gehört und warum:

für C1:

x = cos (phi)    dx = -sin(phi) dphi
y = sin(phi)      dy = cos(phi) dphi
z = 1               dz = 0

-pi <= phi <= pi

------------------------
für C2:

x = sin (phi)   dx = cos(phi) dphi
y = 1              dy = 0
z = -cos(phi)  dz = sin(phi) dphi

0<= phi <= 2 pi
------------------------
für C3:

x= -cos(phi)   dx = sin(phi) dphi
y = -sin(phi)   dy = -cos(phi) dphi
z = 1              dz = 0

-pi <= phi <= pi
_______________
für C4:

x = -sin(phi)  dx = -cos(phi) dphi
y = -1            dy = 0
z = cos(phi)   dz = -sin(phi) dphi
-------------------------

rot(V) = rot [mm] \vektor{xy \\ yz \\ xz} [/mm] = [mm] \vektor{((\partial)/(\partial x)) \\ ((\partial)/ \partial y) \\ ((\partial)/(\partial z))}x\vektor{xy \\ yz \\ xz} [/mm] =
[mm] \vektor{-y \\ -z \\ -x} [/mm]

x = sin (phi)
y = cos (phi)
z = [mm] x^2-y^2 [/mm]

0<=phi <= 2pi
0<= z <= 1

--> [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 2x} [/mm] x [mm] \vektor{0\\ 0\\ -2y} [/mm] = [mm] \vektor{0\\ 0\\ 0} [/mm]

d. h.: Das Oberflächenintegral wäre 0. Ist dies korrekt bzw. sind die Parametrisierungen korrekt?

Danke für die Hilfe

user0009

        
Bezug
Integralsatz von Stokes nachwe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:07 Do 17.04.2008
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo,

ich denke, die Parametrisierung muss anders gehen.
Die Fläche  O  ist eine allseits unendlich ausgedehnte Sattelfläche mit dem Sattelpunkt (0/0) .
Nun wird ein endliches Stück "ausgestanzt", dessen Grundriss in der  x-y-Ebene ein Quadrat ist. Dann haben wir also einen (mehr oder weniger praktischen...) Reitsattel. Die Kurve  C  ist die Randkurve dieses Sattels und besteht aus vier  Parabelstücken. Eines davon liegt z.B. in der Ebene x=1 und hat demzufolge die Gleichungen  x=1 und  [mm] z=x^2-y^2=1-y^2 [/mm] bzw. die Parametrisierung  x=1, y=t, [mm] z=1-t^2. [/mm]

Gruss    Al-Ch.

Bezug
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