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| Aufgabe | Sei [mm]H(x,y,z) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -y^3 \\ x^3 \\ -z^3 \end{pmatrix} [/mm] ein Vektorfeld. Sei [mm] Y: \IR \rightarrow \IR^3 [/mm] die Schnittkurve des Zylinders [mm] x^2 + y^2 = 1 [/mm] mit der Ebene [mm] x + y + z = 1 [/mm]. Der Weg [mm] Y [/mm] beschreibe den Rand [mm] \partial S[/mm] der Fläche [mm] S [/mm]. Bestimmen Sie
[mm] \integral_{\partial S}^{} H\, dY [/mm]
mit Hilfe des Integralsatzes von Stokes. |
Der Stoksche Integralsatz besagt:
[mm] \integral_{\partial S}^{} H\, dY [/mm] = [mm] \integral_{F}^{} rot(H) * N dF [/mm]
Wobei [mm]F[/mm] die Schnittfläche zwischen dem gegebenen Zylinder und der gegebenen Ebene ist. [mm]N[/mm] ist der auf Länge [mm]1[/mm] normierte Normalenvektor dieser Fläche und [mm]dF[/mm] ist das skalare Flächenelement. Man könnte den Normalenvektor auch vernachlässigen, wenn man statt dem skalaren Flächenelement [mm]dF[/mm] das vektorielle Flächenelement [mm]d\vec F[/mm] benutzen würde:
[mm] \integral_{F}^{} rot(H) * N dF [/mm] = [mm] \integral_{F}^{} rot(H) * d \vec F [/mm]
Jetzt kommt das eigentliche Problem:
Bisher kannte ich nur Aufgaben in denen zusätzlich eine Funktion definiert war: [mm] \Phi [/mm] = [mm]\IR^2 \rightarrow \IR^3 [/mm] (z.B. die obere Einheits-Halbkugel). Hat man diese Funktion nach ihren beiden Variablen abgelitten dann ergibt das Kreuzprodukt aus den beiden Ableitungen das vektorielle Flächenelement [mm]d \vec F [/mm].
Bei der obigen Aufgabe fehlt eine solche Funktionen vom [mm] \IR^2 \rightarrow \IR^3 [/mm] aber. Die Vermutung, dass man sich diese aus dem gegebenen Zylinder und der gegebenen Fläche selbst basteln muss liegt nahe, aber ich hab keine Idee wie das gehen könnte! Mir ist nur bewusst, dass die Schnittfläche eine Ellipse sein müsste, weil die Ebene den Zylinder schräg schneidet. Vom Zylinder weiß man ansonsten ja nur, dass der Radius [mm]r[/mm] = [mm] 1 [/mm] ist und bei der Ebene ist mir nur klar, dass sie die 3 Achsen jeweils im Punkt [mm]1[/mm] schneidet. Also sind folgende Punkte der Ebene bekannt:
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
Ich brauche also eine Parametrisierung der Schnittfläche von Zylinder und Ebene die ich nach 2 Variablen ableiten kann!
Für jegliche Hilfestellung bereits im Voraus vielen Dank!
Andy
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Do 16.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Andy!
> Ich brauche also eine Parametrisierung der Schnittfläche
> von Zylinder und Ebene die ich nach 2 Variablen ableiten
> kann!
Der Zylinder wird am einfachsten beschrieben in Zylinderkoordinaten [mm](r\cos\varphi, r\sin\varphi,z)[/mm], mit [mm]0\leq r \leq 1,0\leq\varphi\leq2\pi,z\in\IR[/mm]. Mit der Ebenengleichung kannst du z elimieren, dann ist die Parameterdarstellung der Fläche [mm](r\cos\varphi,r\sin\varphi,1-r(\cos\varphi+\sin\varphi))[/mm], mit [mm]0\leq r \leq 1,0\leq\varphi\leq2\pi[/mm].
Der Normalenvektor ist natürlich der Normalenvektor der Ebene [mm] \bruch{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)[/mm].
Du musst dann nur noch aufpassen, dass du das richtige Vorzeichen wählst, je nach Umlaufrichtung entlang [mm] \partial S[/mm].
Grüße
Rainer
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