Integralsatz von Gauß < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 So 20.10.2013 | | Autor: | medphys |
| Aufgabe | | Sei [mm] H={(x,y)|x^2+y^2\le 4, 0\le y} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] das Vektorfeld [mm] \vec{v}=\vektor{2xy \\ x^2+y^2}. [/mm] Berechnen Sie [mm] \int_{H}^{} [/mm] div [mm] \vec{v}d(x,y) [/mm] sowohl direkt wie auch mit einem geeigneten Integralsatz. |
Hallo zusammen,
ich finde bei der Rechnung einfach meinen Fehler nicht.
Zunächst erstmal die direkte Berechnung:
[mm] H'={(r,\varphi|0
[mm] x=r*cos(\varphi) [/mm] ; [mm] y=r*sin(\varphi)
[/mm]
[mm] \int_{H}^{} [/mm] div [mm] \vec{v}d(x,y)= \int_{H}^{} [/mm] 4y d(x,y)
[mm] =\int_{H'}^{} 4r^2sin(\varphi)d(r,\varphi)
[/mm]
[mm] =\int_{0}^{2}\int_{0}^{\pi}4r^2*sin(\varphi)d\varphi [/mm] dr= [mm] \int_{0}^{2}8r^2dr=\frac{64}{3}.
[/mm]
Ich habe dann zur weiteren Berechnung den Integralsatz von Gauß verwendet und leider ein anderes Ergebnis rausbekommen.
[mm] \int_{M}^{} [/mm] div [mm] \vec{v} d(x,y)=\int_{\partialM}^{} \vec{v}\cdot\vec{n}ds
[/mm]
[mm] \vec{n}=\frac{1}{2}\vektor{x \\ y} [/mm] die Kurve habe ich dann so parametrisiert [mm] \vec{c(t)}=2\cdot \vektor{cos(t) \\ sin(t)} [/mm] und damit [mm] |\vec{c_t(t)}|=2 [/mm] mit [mm] 0
[mm] \int_{\partial M}^{}[x^2y+\frac{1}{2}y(x^2+y^2)]d(x,y)= 2*\int_{0}^{\pi}[8cos^2(t)*sin(t)+4sin(t)]dt=8*\left[-\frac{2}{3}cos^3(t)-cos(t)\right]_{0}^{\pi}=8*\left[\frac{2}{3}+1-(-\frac{2}{3}-1)\right]=\frac{80}{3}
[/mm]
Hoffe ihr könnt meinen Fehler finden.
Gruß
medphys
|
|
| |
|
> Sei [mm]H={(x,y)|x^2+y^2\le 4, 0\le y}[/mm] und [mm]\vec{v}[/mm] das
> Vektorfeld [mm]\vec{v}=\vektor{2xy \\ x^2+y^2}.[/mm] Berechnen Sie
> [mm]\int_{H}^{}[/mm] div [mm]\vec{v}d(x,y)[/mm] sowohl direkt wie auch mit
> einem geeigneten Integralsatz.
> Hallo zusammen,
> ich finde bei der Rechnung einfach meinen Fehler nicht.
> Zunächst erstmal die direkte Berechnung:
> [mm]H'={(r,\varphi|0
>
> [mm]x=r*cos(\varphi)[/mm] ; [mm]y=r*sin(\varphi)[/mm]
>
> [mm]\int_{H}^{}[/mm] div [mm]\vec{v}d(x,y)= \int_{H}^{}[/mm] 4y d(x,y)
> [mm]=\int_{H'}^{} 4r^2sin(\varphi)d(r,\varphi)[/mm]
>
> [mm]=\int_{0}^{2}\int_{0}^{\pi}4r^2*sin(\varphi)d\varphi[/mm] dr=
> [mm]\int_{0}^{2}8r^2dr=\frac{64}{3}.[/mm]
>
> Ich habe dann zur weiteren Berechnung den Integralsatz von
> Gauß verwendet und leider ein anderes Ergebnis
> rausbekommen.
>
> [mm]\int_{M}^{}[/mm] div [mm]\vec{v} d(x,y)=\int_{\partialM}^{} \vec{v}\cdot\vec{n}ds[/mm]
>
> [mm]\vec{n}=\frac{1}{2}\vektor{x \\ y}[/mm] die Kurve habe ich dann
> so parametrisiert [mm]\vec{c(t)}=2\cdot \vektor{cos(t) \\ sin(t)}[/mm]
> und damit [mm]|\vec{c_t(t)}|=2[/mm] mit [mm]0
>
> [mm]\int_{\partial M}^{}[x^2y+\frac{1}{2}y(x^2+y^2)]d(x,y)= 2*\int_{0}^{\pi}[8cos^2(t)*sin(t)+4sin(t)]dt=8*\left[-\frac{2}{3}cos^3(t)-cos(t)\right]_{0}^{\pi}=8*\left[\frac{2}{3}+1-(-\frac{2}{3}-1)\right]=\frac{80}{3}[/mm]
>
> Hoffe ihr könnt meinen Fehler finden.
>
> Gruß
> medphys
Hallo medphys,
(steht dies für "Medizin + Physik" ? - interessante Kombination !)
ich habe jetzt gar nicht groß zu rechnen angefangen.
Aber ich sehe, dass du offenbar nur einen Teil der
Randkurve von H (den Halbkreisbogen) berücksichtigt
hast, aber nicht den Rest (den auf der x-Achse liegenden
Kreisurchmesser) !
Habe jetzt diesen Teil doch gerade noch berechnet,
und der daraus resultierende Beitrag scheint exakt
die Lücke zwischen deinen Ergebnissen zu füllen !
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 So 20.10.2013 | | Autor: | medphys |
Danke für die schnelle Antwort!
Genau dafür soll das medphys stehen.
Habe mal probiert die Strecke von -2 bis 2 zu parametrisieren, dabei kam raus:
[mm] \vec{c_2(t)}=\vektor{-2 \\ 0}+t \vektor{4 \\ 0} [/mm] mit 0<t<1.
Wenn ich das einsetze kommt dabei 0 raus, weil in jedem Produkt ein Faktor y auftaucht, der durch diese Parametrisierung immer 0 ist. Wo liegt diesmal der Fehler?
Gruß
|
|
|
| |
|
> Danke für die schnelle Antwort!
> Genau dafür soll das medphys stehen.
> Habe mal probiert die Strecke von -2 bis 2 zu
> parametrisieren, dabei kam raus:
> [mm]\vec{c_2(t)}=\vektor{-2 \\ 0}+t \vektor{4 \\ 0}[/mm] mit
> 0<t<1.
> Wenn ich das einsetze kommt dabei 0 raus, weil in jedem
> Produkt ein Faktor y auftaucht, der durch diese
> Parametrisierung immer 0 ist. Wo liegt diesmal der Fehler?
> Gruß
Hallo medphys,
ich habe mir das entsprechende Integral so notiert:
[mm] $\integral_{x=-2}^{+2}\,\vec{v}*\vec{n}\ [/mm] dx\ =\ [mm] \integral_{x=-2}^{+2}\,\pmat{2*x*y\\x^2+y^2}*\pmat{0\\-1}\ [/mm] dx$
mit y=0 :
$\ =\ [mm] \integral_{x=-2}^{+2}\,\pmat{0\\x^2}*\pmat{0\\-1}\ [/mm] dx\ =\ [mm] \integral_{x=-2}^{+2}\,(-\,x^2)\ [/mm] dx$
LG , Al-Chw.
|
|
|
|
