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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Do 20.06.2013 | | Autor: | Hanz |
| Aufgabe | | Verifizieren Sie den Satz von Stokes für das Vektorfeld F=(2x, [mm] y^2-z, [/mm] xz) und den Rand des Rechtecks (0,-2,0) (2,-2,0) (2,0,1) und (0,0,1). |
Hey,
mal ne Frage und zwa bei Stokes muss ich ja ein Oberflächenintegral benutzen und überlege, wie die Integrationsgrernzen hier gewählt werden müssten. Das Rechteck liegt ja nicht in der xy-Ebene, also nach welchen Variablen muss integriert werden und welche Grenzen nehme ich???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Do 20.06.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Verifizieren Sie den Satz von Stokes für das Vektorfeld
> F=(2x, [mm]y^2-z,[/mm] xz) und den Rand des Rechtecks (0,-2,0)
> (2,-2,0) (2,0,1) und (0,0,1).
> Hey,
>
> mal ne Frage und zwa bei Stokes muss ich ja ein
> Oberflächenintegral benutzen und überlege, wie die
um den Satz von Stokes zu verifizieren musst Du beide Seiten des Gleichheitsszeichen (also ein Kurven- und ein Oberflächenintegral) berechnen und zeigen, dass sie gleich sind.
> Integrationsgrernzen hier gewählt werden müssten. Das
Du musst die Fläche parametrisieren und von dieser Parametrisierung hängen dann auch die Integrationsgrenzen ab.
> Rechteck liegt ja nicht in der xy-Ebene, also nach welchen
> Variablen muss integriert werden und welche Grenzen nehme
Es wird nach den Parametrisierungsvariablen integriert.
> ich???
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Fr 21.06.2013 | | Autor: | Hanz |
> Du musst die Fläche parametrisieren und von dieser
> Parametrisierung hängen dann auch die Integrationsgrenzen
> ab.
Also ich habe jetzt persönlich das Problem, dass ich nicht weiß, wie man ein Rechteck in 3 Koordinaten parametriesiert. Im Skript haben wir nur Angaben zu Kegeln, Elippsen etc. :(
Wie kann ich so eine "schiefliegendes" Rechteck im Raum denn parametriesieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Fr 21.06.2013 | | Autor: | notinX |
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> > Du musst die Fläche parametrisieren und von dieser
> > Parametrisierung hängen dann auch die Integrationsgrenzen
> > ab.
>
>
> Also ich habe jetzt persönlich das Problem, dass ich nicht
> weiß, wie man ein Rechteck in 3 Koordinaten
Eine Fläche wird immer durch zwei Koordinaten parametrisiert.
> parametriesiert. Im Skript haben wir nur Angaben zu Kegeln,
> Elippsen etc. :(
>
> Wie kann ich so eine "schiefliegendes" Rechteck im Raum
> denn parametriesieren?
Ein Rechteck kann durch zwei Vektoren parametrisiert werden. Ein Quadrat mit der Kantenlänge eins im ersten Quadraten der x-y-Ebene kann z.B. durch:
[mm] $\vec{\varphi}(u,v)=\left(\begin{array}{c}u\\v\end{array}\right)$ [/mm] mit [mm] $(u,v)\in [0,1]\times[0,1]$
[/mm]
parametrisiert werden.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Fr 21.06.2013 | | Autor: | Hanz |
Also dein Bsp. klingt einleuchtend^^ Habe mir jetzt gedacht, dass das Rechteckt ja die Koordinaten (0,0,0); (1,0,0); (1,1,0) und (0,1,0) haben könnte.
Zwei Koordinaten dann wohl, weil es dann im Prinzip "Länge x Breite = Flächeninhalt" wäre, ne?
Passt das dann, wenn ich es über die x und die z-Koordinate so mache:
[mm] \vec{\varphi}(u,v)=\vektor{u \\ v} [/mm] mit [mm] u\in[0,2] [/mm] und [mm] v\in[0,1]
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Fr 21.06.2013 | | Autor: | notinX |
> Also dein Bsp. klingt einleuchtend^^ Habe mir jetzt
> gedacht, dass das Rechteckt ja die Koordinaten (0,0,0);
> (1,0,0); (1,1,0) und (0,1,0) haben könnte.
>
> Zwei Koordinaten dann wohl, weil es dann im Prinzip "Länge
> x Breite = Flächeninhalt" wäre, ne?
Ja, so kann man das sagen.
>
> Passt das dann, wenn ich es über die x und die
> z-Koordinate so mache:
>
> [mm]\vec{\varphi}(u,v)=\vektor{u \\ v}[/mm] mit [mm]u\in[0,2][/mm] und
> [mm]v\in[0,1][/mm]
Nein, das wäre ein Rechteck in der x-y-Ebene mit Kantenlängen eins und zwei.
Das Rechteck kann durch zwei Vektoren bzw. Geraden aufgespannt werden. Bestimme die und überlege welche Bereiche der Geraden von den Parametern 'abgefahren' werden müssen um jeden Punkt des Rechtecks zu erreichen.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Fr 21.06.2013 | | Autor: | Hanz |
Oh Gott, das war natürlich irgendwie selten dämlich von mir >.<
Ich habe jetzt den Vektor [mm] u=\vektor{4 \\ 2 \\ 1} [/mm] aus der Differenz von (2,0,1) und (2,-2,0) sowie den Vektor [mm] v=\vektor{-2 \\ 0 \\ 0} [/mm] aus der Differenz von (0,0,1) und (2,0,1) bestimmt.
u würde ich im Bereich [0,4] ansiedeln und v im Bereich [-2;2].
Aber wie wird daraus jetzt eine Parameterdarstellung mit 3 Komponenten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Fr 21.06.2013 | | Autor: | notinX |
> Oh Gott, das war natürlich irgendwie selten dämlich von
> mir >.<
>
> Ich habe jetzt den Vektor [mm]u=\vektor{4 \\ 2 \\ 1}[/mm] aus der
Die erste Komponente von u muss null sein.
> Differenz von (2,0,1) und (2,-2,0) sowie den Vektor
> [mm]v=\vektor{-2 \\ 0 \\ 0}[/mm] aus der Differenz von (0,0,1) und
> (2,0,1) bestimmt.
>
> u würde ich im Bereich [0,4] ansiedeln und v im Bereich
> [-2;2].
Das macht keinen Sinn - u und v sind konstant!
>
> Aber wie wird daraus jetzt eine Parameterdarstellung mit 3
> Komponenten?
Stelle die Geradengleichungen der Geraden auf, die den Rand des Rechtecks beschreiben. In denen tauchen dann auch Parameter auf über deren Wertebereich Du Dir Gedanken machen kannst.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Fr 21.06.2013 | | Autor: | Hanz |
Oh man ja, da hatte ich jetzt einen Rechenfehler auf meinem Zettel. Hm, die Geraden, welche den Rand beschreiben, habe ich für die zweite Hälfte von Stokes schon berechnet (wegen dem Rand halt) und dort folgende Gleichungen raus:
p: [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 0}+t_1\cdot \vektor{0 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
q: [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1}+t_2\cdot \vektor{-2 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
r: [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}+t_3\cdot \vektor{0 \\ -2 \\ -1}
[/mm]
s: [mm] \vektor{0 \\ -2 \\ 0}+t_4\cdot \vektor{2 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
p und r sowie q und s haben jeweils gleiche Richtungsvektoren, nur mit anderem Vorzeichen (denke wegen der Orientierung).
p und r haben den Abstand von 2 Längeneinheiten folglich würde ich den Parameter t zwischen [0,2] vermuten?
Die Geraden s und q haben einen Abstand von [mm] \sqrt{5}, [/mm] daher t zwischen [mm] [0;\sqrt{5}]
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Fr 21.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst doch mit den t bei 0 anfangen, dem Anfangspkt der Strecke und mit t den Endpunkt erreichen, das ist doch nicht so schwer!
deine Werte sind falsch, da deine Richtungsvektoren ja keine Einheitsvektoren sind.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Fr 21.06.2013 | | Autor: | Hanz |
Hi,
wenn ich die Seite von Stokes nachweise, wo ich ein Kurveninegral berechnen muss, dann sind das ja meine vier parametrisierten Kurven mit [mm] t\in[0;1].
[/mm]
Mein Problem liegt aber jetzt in der anderen Seite mit dem Oberflächenintegral. Um das Flächenelement berechnen zu können, muss mein Bereich ja parametrisiert werden, also hier das Rechteck im Raum. Wie aus den oben genannten Geradengleichungen aber jetzt eine Paramaterdarstellung des Bereichs wird, das ist mein Problem :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Sa 22.06.2013 | | Autor: | notinX |
> Mein Problem liegt aber jetzt in der anderen Seite mit dem
> Oberflächenintegral. Um das Flächenelement berechnen zu
> können, muss mein Bereich ja parametrisiert werden, also
> hier das Rechteck im Raum. Wie aus den oben genannten
> Geradengleichungen aber jetzt eine Paramaterdarstellung des
> Bereichs wird, das ist mein Problem :(
Ich habe die Geraden nicht überprüft.
Du brauchst nur zwei davon - zwei die nicht parallel sind. Die addierst Du dann und erhältst damit eine Ebene. Dann musst Du die Parameter noch so wählen, dass mit deren Startwerten eine Ecke des Rechtecks erreicht wird und mit den Endwerten die Gegenüberliegende.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Sa 22.06.2013 | | Autor: | Hanz |
Ok, dann versuche ich es mal:
Ich wähle p und q als Geraden:
p: [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 0}+t_1\cdot \vektor{0 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
q: [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1}+t_2\cdot \vektor{-2 \\ 0 \\ 0} [/mm]
Nun berechne ich p+q und erhalte: [mm] \vektor{4 \\ -2 \\ 1}+t_1\cdot \vektor{0 \\ 2 \\ 1}+t_2\cdot \vektor{-2 \\ 0 \\ 0} [/mm]
Ich wähle den Punkt "unten links" (2,-2,0) als Startpunkt und die Gegenüberliegende Ecke (0,0,1) als Endpunkt.
Also müsste ich für [mm] t_1 [/mm] und [mm] t_2 [/mm] Werte ausrechnen, mit denen ich diese Punkte erzeugen kann:
Jetzt kommt aber das Problem, dass wenn ich ein LGS erzeuge, keine Lösung rauskommt :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:31 So 23.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
eine Ebene wird doch dargestellt durch 2 Vektoren in ihr und einem punkt in der Ebene. due hast einen punkt ausserhalb genommen.
also nich p+q sondern P+t1v1+t2v2
Guss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:44 So 23.06.2013 | | Autor: | Hanz |
Achsooo, also wird nichts anders als eine ganz normale Ebenengleichung gesucht?!
Dazu nehme ich ja einfach 3 der Punkte und erhalte dann:
[mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 0}+t_1\cdot \vektor{0 \\ 2 \\ 1}+t_2\cdot \vektor{-2 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
Jetzt habe ich für alle 4 Ecken geprüft, welche Werte [mm] t_1 [/mm] und [mm] t_2 [/mm] annehmen, und herausbekommen, dass [mm] t_1\in[-1;1] [/mm] und [mm] t_2\in[0,1] [/mm] liegt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Di 25.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 Mi 26.06.2013 | | Autor: | Hanz |
Kann jemand sagen, ob das so ok ist oder nicht?
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