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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Fearless |
| Aufgabe | | Berechne : [mm] \integral_{2}^{3}{x^{4}ln(x) dx} [/mm] |
Berechne:1.) [mm] \integral_{}^{} {\bruch{18x-12}{3x^{2}-4} dx}
[/mm]
2.) [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{4-3x}} dx}
[/mm]
Hay leute. Zu meiner situation ich schreibe nächste woche einen mathe test und wenn ich diese drei Aufgaben verstanden ist eine gute Note recht wahrscheinlich.
Nun zu meinem Problem:Ich habe bereits auf mehrern Seiten die Integralrechnung gelesen, als Video gesehen und auch aufgeschrieben allerdings finde ich kaum Einträge zu den Verfahren zum integrieren. Auch mein Mathebuch hilft dort kaum. Ich weiß das man Partielle(?),Substitution und Partialbruchzerlegung anwenden kann, weiß aber nicht wie sich diese Verfahren unterscheiden.
Könnte mir jemand die Verfahren zur Intergration kurz erläutern und vlt die erste Aufgabe als Besipiel benutzen?
Mit freundlichen Grüßen Ole R.=)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Fearless und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Berechne : [mm]\integral_{2}^{3}{x^{4}ln(x) dx}[/mm]
> Berechne:1.)
> [mm]\integral_{}^{} {\bruch{18x-12}{3x^{2}-4} dx}[/mm]
>
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> 2.) [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{4-3x}} dx}[/mm]
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> Hay leute. Zu meiner situation ich schreibe nächste woche
> einen mathe test und wenn ich diese drei Aufgaben
> verstanden ist eine gute Note recht wahrscheinlich.
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> Nun zu meinem Problem:Ich habe bereits auf mehrern Seiten
> die Integralrechnung gelesen, als Video gesehen und auch
> aufgeschrieben allerdings finde ich kaum Einträge zu den
> Verfahren zum integrieren. Auch mein Mathebuch hilft dort
> kaum. Ich weiß das man Partielle(?),Substitution und
> Partialbruchzerlegung anwenden kann, weiß aber nicht wie
> sich diese Verfahren unterscheiden.
>
> Könnte mir jemand die Verfahren zur Intergration kurz
> erläutern und vlt die erste Aufgabe als Besipiel
> benutzen?
Nun, bei der ersten Aufgabe bietet sich partielle Integration an, beachte, dass [mm]\left[\ln(x)\right]'=\frac{1}{x}[/mm]
Partielle Integration: [mm]\int{f'(x)\cdot{}g(x) \ dx} \ = \ f(x)\cdot{}g(x)-\int{f(x)\cdot{}g'(x) \ dx}[/mm]
Mit der Rollenverteilung [mm]f'(x)=x^4[/mm] und [mm]g(x)=\ln(x)[/mm] sollte das recht schnell gehen ...
Steht beim zweiten Integral wirklich [mm]\int{\frac{18x-12}{3x^2-4} \ dx}[/mm] und nicht doch vielleicht [mm]\int{\frac{16x-12}{\red{(}3x\red{)}^2-4} \ dx}[/mm] ?
Dann könntest du nämlich im Zähler 6 ausklammern und im Nenner die 3.binom. Formel verwenden, so dass sich das Integral doch ziemlich vereinfacht und mit einer einfachen linearen Substitution erschlagen werden kann ...
Falls "deine" Version stimmt würde ich eine Partialbruchzerlegung des Integranden versuchen:
Ansatz: [mm]\frac{18x-12}{3x^2-4}=\frac{18x-12}{(\sqrt{3}x-2)(\sqrt{3}x+2)}=\frac{A}{\sqrt{3}x-2}+\frac{B}{\sqrt{3}x+2}[/mm]
Dann bekommst du statt des Ausgangsintegrals die Summe zweier leicht zu berechnenden Integrale.
Für das letzte Integral hilft eine lineare Substitution des Radikanden.
[mm]u=u(x):=4-3x[/mm]
Beachte, dass [mm]\frac{1}{\sqrt{u}}=u^{-1/2}[/mm]
Und Integrale der Form [mm]\int{z^r \ dz}[/mm] für [mm]r\neq -1[/mm] kann man mit einer ganz bekannten Formel klein kriegen, das kennst du sicher ...
>
> Mit freundlichen Grüßen Ole R.=)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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Allgemein gilt:
Hast du ein Produkt wie bei [mm] x^4 [/mm] lnx oder allgemein im Zusammenhang mit einer trigonometrischen/transzendenten Funktion (sin, cos, tan, exp, log), so führt meistens die Partielle Integration zum Ziel. Manchmal muss man diese auch zweimal anwenden, manchmal trickreich umgestalten.
[mm] Beispiel:\integral{sin(x)cos(x) dx}=sin(x)sin(x)-\integral{cos(x)sin(x) dx}
[/mm]
u v' u v u' v
Es scheint nichts gewonnen zu sein, weil du hinten das selbe Integral wie vorne hast und du dieses ja nicht berechnen kannst. Aber: Nun zählst du auf beiden Seiten das Integral dazu und erhältst:
[mm] 2*\integral{sin(x)cos(x) dx}=sin(x)sin(x) [/mm] und damit
[mm] \integral{sin(x)cos(x) dx}=sin^2(x)/2
[/mm]
Hast du einen Bruch, gibt es drei Vorgehensweisen, die du am besten in folgender Reihenfolge abarbeitest:
Ist der Zähler die Ableitung des Nenners? Dann kommt ln|Nenner| heraus.
[mm] Beispiel:\integral{\bruch{sin(x)}{cos(x)} dx}=-\integral{\bruch{-sin(x)}{cos(x)} dx}=-ln|cos(x)|
[/mm]
Ist das nicht der Fall: Kannst du den Bruch in eine Summe mit gleichem Nenner zerlegen?
[mm] Beispiel:\integral{(\bruch{x^3+x^2+4}{x}) dx}=\integral{(\bruch{x^3}{x}+\bruch{x^2}{x}+\bruch{4}{x}) dx}=\integral{(x^2+x+\bruch{4}{x}) dx}
[/mm]
Klappt das auch nicht: Partialbruchzerlegung.
Handelt es sich nur um eine verschachtelte Funktion, ist die Substitution gefragt.
Beispiel: [mm] \integral{\bruch{1}{\wurzel{4-3x}} dx}
[/mm]
Setze t=4-3x. dann wird dt/dx =-3, also dx=-dt/3 und damit:
[mm] \integral{\bruch{1}{\wurzel{4-3x}} dx}=\integral{\bruch{1}{-3\wurzel{t}} dt}=\integral{\bruch{1}{-3}*t^{-0,5} dx}=\bruch{2}{-3}*t^{0,5}= \bruch{2}{-3}*\wurzel{t}=\bruch{2}{-3}*\wurzel{4-3x}
[/mm]
Oder: Setze [mm] t=\wurzel{4-3x}. [/mm] Dann ist [mm] dt/dx=\bruch{1}{2*\wurzel{4-3x}}*(-3) [/mm] und damit [mm] dx=2*\wurzel{4-3x}/(-3) [/mm] *dt=2*t/(-3) *dt
Damit wird [mm] \integral{\bruch{1}{\wurzel{4-3x}} dx}=\integral{\bruch{2*t/(-3)}{t} dt}=\integral{\bruch{2}{-3} dt}=\bruch{2}{-3} [/mm] t [mm] =\bruch{2}{-3}\wurzel{4-3x}
[/mm]
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