Integralrechnung zwischen zwei < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Sa 05.01.2013 | | Autor: | tabx |
| Aufgabe | Wie groß ist die Fläche, die von den Graphen von f und g begrenzt wird?
a) f(x)=x², g(x)=-x²+4x
b) f(x)=-1/x², g(x)=2,5x-5,25 |
Hey, die Aufgaben sind ziemlich wichtig und ich hab leider keeeine Ahnung, wie das funktioniert... war das irgendwas mit Gleichsetzen? Hüüülfe, bitte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Sa 05.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Wie groß ist die Fläche, die von den Graphen von f und g
> begrenzt wird?
>
> a) f(x)=x², g(x)=-x²+4x
> b) f(x)=-1/x², g(x)=2,5x-5,25
> Hey, die Aufgaben sind ziemlich wichtig und ich hab leider
> keeeine Ahnung, wie das funktioniert... war das irgendwas
> mit Gleichsetzen? Hüüülfe, bitte
In der Tat solltest du die Funkionen erstmal gleichsetzen, um die Schnittstellen (die x-Koordinaten dre Schnittpunkte) zu bestimmen.
Nennen wir diese nun mal [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] (Hier gibt es bei allen beiden Aufgaben dankenswerterweise genau zwei Schnittstellen)
Diese werden nachher die Integrationsgrenzen.
Für die zu berechnende Fläche integriere dann die Differenz der beteiligten Funktionen, setze diese, um sicher eine positiven Wert zu haben, nich in Betragsstriche.
Für die Fläche zwischen den Funktionsgraphen gilt dann:
[mm] A=\left|\int\limits_{x_{1}}^{x_{2}}f(x)-g(x)dx\right|
[/mm]
Also in Aufgabe a)
[mm] A=\left|\int\limits_{x_{1}}^{x_{2}}x^{2}-(-x^{2}+4x)dx\right|=\ldots
[/mm]
Nun bist du erstmal wieder dran, diese Tipps in die konkrete Rechnung zu verarbeiten.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 So 06.01.2013 | | Autor: | tabx |
Bei der ersten hab ich's verstanden, aber das mit dem Gleichsetzen bekomm ich bei der zweiten leider nicht hin...
|
|
|
| |
|
Hallo tabx,
> Bei der ersten hab ich's verstanden, aber das mit dem
> Gleichsetzen bekomm ich bei der zweiten leider nicht hin...
Das ist zugegebenermaßen auch schwierig, immerhin hast Du eine Gleichung dritter Ordnung zu lösen. Da muss man normalerweise erst einmal eine Lösung "erraten".
Gesucht ist [mm] -\bruch{1}{x^2}=2,5x-5,25\;\;\gdw\;\;\bruch{1}{x^2}+\bruch{5}{2}x-\bruch{21}{4}=0\;\;\gdw\;\;4+10x^3-21x^2=0
[/mm]
Für den letzten Schritt habe ich die ganze Gleichung mit [mm] 4x^2 [/mm] multipliziert. x=0 muss man dafür ausschließen, aber das ist ja offenbar sowieso keine Lösung. Nun ordnen wir mal ein bisschen um und "probieren" ein bisschen herum.
[mm] 10x^3-21x^2+4=0 [/mm] ist zu lösen; anders gesagt: die Nullstellen von [mm] h(x)=10x^3-21x^2+4 [/mm] sind gesucht. Nun ist $h(x)$ eine auf ganz [mm] \IR [/mm] stetige Funktion, und h(0)=4 sowie h(1)=-7. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also in [0;1] mindestens eine Nullstelle.
Der Aufgabensteller nimmt an, dass Du in der Lage bist, so eine Nullstelle zu finden. Sie wird also sehr "einfach" sein, also z.B. [mm] x=\tfrac{1}{2} [/mm] oder [mm] x=\tfrac{1}{3} [/mm] oder [mm] x=\tfrac{2}{3}.
[/mm]
Die würde ich mal ausprobieren. 
Wenn Du eine Nullstelle hast, kannst Du ja durch Polynomdivision das Polynom dritten Grades auf ein quadratisches reduzieren und dann mit den bewährten Methoden (p-q-Formel, Mitternachtsformel oder quadratische Ergänzung) die restlichen beiden Nullstellen bestimmen.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Mo 07.01.2013 | | Autor: | tabx |
Super, vielen Dank!
|
|
|
|
