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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Mo 22.08.2005 | | Autor: | sonic444 |
hallo, folgendes integral will ich lösen, bin aber total vernagelt.
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{x²+x+4}}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo sonic444,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\integral_{}^{} {\bruch{1}{x²+x+4}}[/mm]
bringe das Integral auf die Form [mm]\int {\frac{1}
{{\left( {a\;x\; + \;b} \right)^2 \; + \;c}}\;dx} [/mm].
Entscheide Dich dann für eine der folgenden Substitutionen:
[mm]\begin{gathered}
c\; > \;0:\;a\;x\; + \;b\; = \;\sqrt c \;\tan \;t \hfill \\
c\; < \;0:\;a\;x\; + \;b\; = \;\sqrt {\left| c \right|} \;\tanh \;t \hfill \\
\end{gathered} [/mm].
Der Fall c = 0 ist trivial.
Dann kannst Du das Integral lösen.
Gruß
MathePower
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Hallo sonic,
vielleicht noch einmal ein paar ergänzungen, damit die lösung nicht so vom himmel fällt:
zunächst einmal hat das polynom im nenner [mm] $p(x)=x^2+x+4$ [/mm] bei näherem hinsehen keine (reellen) Nullstellen. Eine partialbruchzerlegung scheidet also aus. erinnert man sich nun daran, dass sich die funktion
[mm] $f(x)=\bruch{1}{x^2+1}$
[/mm]
elementar integrieren lässt, nämlich durch den arcustangens, muss man versuchen, durch geschickte transformationen bzw. substitutionen auf diese form zu kommen. durch quadratische ergänzung erhält man schon einmal
[mm] $p(x)=(x+\bruch{1}{2})^2+\bruch{15}{4}$
[/mm]
durch weiteres fummeln kommst du auf die form
[mm] $p(x)=k((ax+b)^2+1)$
[/mm]
Substituierst du nun noch $z=ax+b$, so bist du fast am ziel.
Viele Grüße
Matthias
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:07 Mo 22.08.2005 | | Autor: | sonic444 |
bis zu der Stelle (x+ [mm] \bruch{1}{2})²+ \bruch{15}{4}
[/mm]
bin ich gekommen, komme aber nicht auf die form (ax+b)²+1
für aufklärung wäre ich dankbar!
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Hallo sonic!
Das Stichwort hier heißt "ausklammern:
[mm] $\left(x+\bruch{1}{2}\right)^2+\bruch{15}{4} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{15}{4}*\left[\bruch{4}{15}*\left(x+\bruch{1}{2}\right)^2 + 1 \right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{15}{4}*\left[\left(\wurzel{\bruch{4}{15}} \ \right)^2*\left(x+\bruch{1}{2}\right)^2 + 1 \right]$
[/mm]
Mit [mm] $\wurzel{\bruch{4}{15}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{\wurzel{15}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*\wurzel{15}}{15}$ [/mm] wird dann:
$... \ = \ [mm] \bruch{15}{4} [/mm] * [mm] \left[\left(\bruch{2*\wurzel{15}}{15}*x+\bruch{\wurzel{15}}{15}\right)^2 + 1 \right]$
[/mm]
Nun gilt also:
$k \ = \ [mm] \bruch{15}{4}$
[/mm]
$a \ = \ [mm] \bruch{2*\wurzel{15}}{15}$
[/mm]
$b \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{15}}{15}$
[/mm]
Kommst Du nun weiter mit der o.g. Substitution?
Gruß vom
Roadrunner
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