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Forum "Integralrechnung" - Integralrechnung
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Integralrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:15 Di 02.02.2010
Autor: Yujean

Aufgabe
Bestimmen sie k > 0 so, dass die Graphen der Funktionen f und g eine Fläche mit dem Fächeninhalt A einschließen.

[mm] f(x)=kx^2; [/mm] g(x)=5kx + 6k; A= 1  

Guten abend,

kann mir jemand ein bisschen auf die Sprünge helfen?

Vielen Dank

Yujean

        
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Integralrechnung: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:24 Di 02.02.2010
Autor: Loddar

Hallo Yujean!


Bestimme zunächst durch Gleichsetzen der beiden Funktionsvorschriften die Schnittstellen [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] der beiden Kurven.
Diese beiden Werte ergeben dann die Integrationsgrenzen.

Anschließend musst Du folgende Gleichung lösen:
[mm] $$\integral_{x_1}^{x_2}{g_k(x)-f_k(x) \ dx} [/mm] \ = \ 1$$

Gruß
Loddar


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Integralrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:26 Di 02.02.2010
Autor: Yujean

Danke, ich werde es probieren :)> Hallo Yujean!



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Integralrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:39 Di 02.02.2010
Autor: Yujean

f(x)=g(x)

[mm] kx^2 [/mm] = 5kx + 6k

ich habe einfach richtige Probleme mit diesem k in den Funktionen.

Jetzt muss ja das x isoliert werden. also iwie

x= .........

[mm] kx^2 [/mm] = 5kx + 6k   |-5kx (??)

das verwirrt mich iwie, vllt mit p-q-Formel lösen?

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Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Di 02.02.2010
Autor: Adamantin

Wie wäre es, wenn du einmal probiert, hier furch k zu dividieren, denn mir scheint, die Aufgabe ist wunderbar dafür ausgelegt, dass der Flächeninhalt scheinbar ohne k auskommt ;) Zumindest die Schnittpunkte dieser beiden Funktionen sind immer gleich

Danach natürlich p-q-Formel mit der quadratischen Gleichung

> f(x)=g(x)
>  
> [mm]kx^2[/mm] = 5kx + 6k
>  
> ich habe einfach richtige Probleme mit diesem k in den
> Funktionen.
>  
> Jetzt muss ja das x isoliert werden. also iwie
>  
> x= .........
>  
> [mm]kx^2[/mm] = 5kx + 6k   |-5kx (??)
>  
> das verwirrt mich iwie, vllt mit p-q-Formel lösen?


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Integralrechnung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:02 Di 02.02.2010
Autor: Yujean

Ok

[mm] kx^2 [/mm] = 5kx + 6k  |:k

[mm] x^2=5x [/mm] + 6    |-5x-6
[mm] x^2 [/mm] - 5x - 6 = 0

so? und dann mit p-q-F.?

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Integralrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:10 Di 02.02.2010
Autor: Yujean

Ok habe jetzt die Schnittstellen.

[mm] x_{1} [/mm] = -1
[mm] x_{2} [/mm] = 6

d.h. ich bekomme jetzt folgendes Integral:

[mm] \integral_{-1}^{6}{(5kx + 6k) - (kx^2)dx}=1 [/mm]

und wie löse ich das jetzt? kann ichd as auch mit dem GTR machen?

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Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:21 Di 02.02.2010
Autor: fencheltee


> Ok habe jetzt die Schnittstellen.
>
> [mm]x_{1}[/mm] = -1
>  [mm]x_{2}[/mm] = 6

[ok]

>  
> d.h. ich bekomme jetzt folgendes Integral:
>  
> [mm]\integral_{-1}^{6}{(5kx + 6k) - (kx^2)dx}=1[/mm]
>  

nun integrieren, wobei k eine konstante ist!
danach die entstandene funktion nach k auflösen

> und wie löse ich das jetzt? kann ichd as auch mit dem GTR
> machen?

kann man bestimmt, je nachdem welcher TR, aber nötig isser hier nicht

gruß tee

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Integralrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:44 Di 02.02.2010
Autor: Yujean

Soo

[mm] \integral_{-1}^{6}{(5kx + 6k) - (kx^2)dx}=1 [/mm]

= [mm] [(\bruch{5kx^2}{2} [/mm] + 6kx) - [mm] (\bruch{kx^3}{3})] [/mm]


so?

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Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:55 Di 02.02.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

> Soo
>  
> [mm]\integral_{-1}^{6}{(5kx + 6k) - (kx^2)dx}=1[/mm]
>  
> = [mm][(\bruch{5kx^2}{2}[/mm] + 6kx) - [mm](\bruch{kx^3}{3})][/mm]

Wenn das Integral richtig war (wovon ich jetzt ausgehe ;-) ), stimmt auch dieser Schritt. Rechts müssen aber noch die Grenzen dran, die du dann für x einsetzen musst:

[mm] $\integral_{-1}^{6}{(5kx + 6k) - (kx^2)dx} [/mm] = [mm] \Big[\frac{5}{2}*k*x^{2}+6*k*x [/mm] - [mm] \frac{1}{3}*k*x^{3}\Big]_{-1}^{6} [/mm] = ...$

Grüße,
Stefan

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Integralrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:07 Di 02.02.2010
Autor: Yujean

Ok ihc habe jetz erst 6 eingesetzt, dann -1 und dann die Stammfunktion 6 minus der Stammfunktion -1 gerechnet ( Ihr wisst schon was ich meine, kann mich nur nicht besser ausdrücken) dabei kommt das hier raus:

1=54k + [mm] \bruch{19}{6}k [/mm]

ohman, dass ist doch nicht richtig oder?

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Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:14 Di 02.02.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

> Ok ihc habe jetz erst 6 eingesetzt, dann -1 und dann die
> Stammfunktion 6 minus der Stammfunktion -1 gerechnet ( Ihr
> wisst schon was ich meine, kann mich nur nicht besser
> ausdrücken) dabei kommt das hier raus:

Man sagt oft "umgangssprachlich": "Obere Grenze minus untere Grenze", besser noch wäre aber:
"Obere Grenze in die Stammfunktion eingesetzt minus untere Grenze in die Stammfunktion eingesetzt".

> 1=54k + [mm]\bruch{19}{6}k[/mm]
>  
> ohman, dass ist doch nicht richtig oder?

Doch, das stimmt [ok]. Es kommen eben nicht immer schöne Werte raus. Du kannst das noch schreiben als:

$1 = [mm] \frac{343}{6}*k$ [/mm]

Grüße,
Stefan

Bezug
                                                                                        
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Integralrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:18 Di 02.02.2010
Autor: Yujean

wow nicht schlecht gut danke für den Ratschlag.

Aber jetzt sollte ich ja k bestimmen. d.h. einfach nur noch mit [mm] \bruch{343}{6} [/mm] dividieren und dann kommt raus

k= [mm] \bruch{6}{343} [/mm]

aber wie überprüfe ich jetzt, ob das k korrekt ist?

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Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:22 Di 02.02.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

> wow nicht schlecht gut danke für den Ratschlag.
>  
> Aber jetzt sollte ich ja k bestimmen. d.h. einfach nur noch
> mit [mm]\bruch{343}{6}[/mm] dividieren und dann kommt raus
>  
> k= [mm]\bruch{6}{343}[/mm]

[ok]

> aber wie überprüfe ich jetzt, ob das k korrekt ist?

Na, zum Beispiel, indem du deinen Wert für k in die Ausgangsfunktionen einsetzt, sie dir vom Taschenrechner zeichnen lässt und ihn das entsprechende Integral ausrechnen lässt - wenn 1 rauskommt, hast du's richtig gemacht.

Grüße,
Stefan

Bezug
                                                                                                        
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Integralrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:24 Di 02.02.2010
Autor: Yujean

Ja genau das wollte ich eh probieren, aber ich frage erstmal nach :D

hab ich gemacht und alles korrekt =)

Vielen lieben Dank

Yujean

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