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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Logan |
Hi,
1) Kann mir jemand erklären, wo der Unterschied zwischen Integral und
Integrandenfunktion liegt?
2) Kann man den Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung ohne
Benutzung der limes Methode beweisen?
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Hallo.
Zu 1: für f(x) integrierbar ist die Integralfunktion definiert als [mm] $\integral_{a}^{x}f(t)dt$, [/mm] während die Integrandenfunktion einfach die Funktion ist, die hinter dem Integralzeichen steht, also ist beispielsweise [mm] $g(x)=x^2$ [/mm] die Integrandenfunktion zu [mm] $\integral_{1}^{2}x^2dx$.
[/mm]
Zu 2: Man kann sich das vielleicht am besten so veranschaulichen, so hätte auch der "klassische" Beweis des HDI zu Leibnitz' Zeiten ausgesehen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sorry, daß ich das Bild nicht beschriftet habe, aber vielleicht funktionierts ja auch so. Sei die hell schraffierte Fläche deine Stammfunktion F(x), d.h. an der Grenze von heller zu dunkler Fläche ist gerade die Stelle x.
Jetzt ändern wir x ein wenig nach rechts um eine (infinitesimal kleine) Änderung dx.
Dann ändert sich unser F gerade um die Fläche dF (dunkel schraffiert).
Da das ja alles ziemlich shr klein ist, können wir unser dF wohl mit Fug und Recht als Rechteck betrachten, d.h. die Fläche ist $dF=dx*f(x)$.
Das heißt aber umgestellt nichts anderes als [mm] $f(x)=\frac{dF}{dx}=F'(x)$, [/mm] womit wir den HDI "bewiesen" hätten.
Nach modernen Maßstäben ist dies allerdings kein gültiger Beweis, taugt aber allemal dazu, sich die Sache klarzumachen.
Gruß, Christian
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:19 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Logan |
Danke.
Leider funktioniert der Bildanhang nicht.
Gruß
Logan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Christian |
Also bei mir funzts.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 So 24.04.2005 | | Autor: | informix |
Hallo Logan,
> Danke.
>
> Leider funktioniert der Bildanhang nicht.
bei mir ist das Bild zu erkennen,
überprüfe mal deine Einstellungen im Browser: zeigt er auch Bilder an, die auf einem anderen Server liegen?
>
> Gruß
> Logan
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