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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Mi 19.08.2009 | | Autor: | hamma |
Hallo, ich weiß nicht wie ich bei der aufgabe am sinnvollsten anfangen soll.
[mm] \integral{x^3*\wurzel{x^2-1 } dx}
[/mm]
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Hallo Markus,
> Hallo, ich weiß nicht wie ich bei der aufgabe am
> sinnvollsten anfangen soll.
>
> [mm]\integral{x^3*\wurzel{x^2-1 } dx}[/mm]
Substituiere mal [mm] $u:=x^2-1$
[/mm]
Das Integral, das du dadurch erhältst, kannst du entweder durch partielle Integration oder durch Ausmultiplizieren und dann durch elementares Integrieren lösen
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Mi 19.08.2009 | | Autor: | hamma |
ok,danke, blöder fehler von mir, ich versuchs nochmal:
[mm] \integral{x^3*\wurzel{x^2-1}dx}
[/mm]
[mm] u:=x^2-1
[/mm]
[mm] =\integral{x^3*\wurzel{u}*\bruch{1}{2x} du}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\integral{x^2*\wurzel{u} du}
[/mm]
[mm] \underbrace{}_{=I1}
[/mm]
[mm] I1=x^2*\bruch{2}{3}u^{1.5}-\integral{2x*\bruch{2}{3}u^{1.5}du}
[/mm]
[mm] I1=x^2*\bruch{2}{3}u^{1.5}-\bruch{4}{3}\integral{x*u^{1.5}du}
[/mm]
[mm] \underbrace{}_{=I2} [/mm]
I2= [mm] x*\bruch{2}{5}u^{2.5}-\bruch{2}{5}\integral{u^{2.5}du}
[/mm]
I2= [mm] x*\bruch{2}{5}u^{2.5}-\bruch{2}{5}*(\bruch{2}{7}u^{3,5})
[/mm]
ich würde dann I2 in I1 einsetzen und I1 in
[mm] =\bruch{1}{2}\integral{x^2*\wurzel{u} du}
[/mm]
[mm] \underbrace{}_{=I1}
[/mm]
einsetzen
danach rücksubstituieren und eventuell vereifachen.
simmt das dann soweit?
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Hallo hamma,
> ok, ich rechne weiter:
>
> [mm]\integral{x^3*\wurzel{x^2-1} du}[/mm]
>
> [mm]u:=x^2-1[/mm]
>
> [mm]\integral{x^3*u*\bruch{1}{2x} du}[/mm]
Das muß hier so lauten:
[mm]\integral{x^3*\red{\wurzel{u}}*\bruch{1}{2x} du}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2}\integral{x^2*udu}[/mm]
Hier demnach:
[mm]\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{x^2*\wurzel{u} \ du}[/mm]
Und jetzt noch das "[mm]x^{2}[/mm]" ersetzen.
> [mm]\underbrace{}_{=I1}[/mm]
>
>
>
> [mm]I1=x^2*\bruch{1}{2}u^2-\integral{2x*\bruch{1}{2}*u^2 du}[/mm]
>
> [mm]\underbrace{}_{=I2}[/mm]
> [mm]I2=x*\bruch{1}{3}u^3- \integral{\bruch{1}{3}*u^3 du}[/mm]
>
> I2=x* [mm]\bruch{1}{3}u^3-\bruch{1}{12}u^4[/mm]
>
> ich würde dann I2 in I1 einsetzen und I1 in die in
>
> [mm]=\bruch{1}{2}\integral{x^2*udu}[/mm]
> [mm]\underbrace{}_{=I1}[/mm]
>
> danach rücksubstituieren und eventuell vereifachen.
> simmt das soweit?
>
>
> was versteht man nochmal unter elementares integrieren?
>
>
Nun, wenn das Integral mit elementaren Mitteln lösbar ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Mi 19.08.2009 | | Autor: | hamma |
ok,danke, blöder fehler von mir, ich versuchs nochmal:
[mm] \integral{x^3*\wurzel{x^2-1}dx}
[/mm]
[mm] u:=x^2-1
[/mm]
[mm] =\integral{x^3*\wurzel{u}*\bruch{1}{2x} du}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\integral{x^2*\wurzel{u} du}
[/mm]
[mm] \underbrace{}_{=I1}
[/mm]
[mm] I1=x^2*\bruch{2}{3}u^{1.5}-\integral{2x*\bruch{2}{3}u^{1.5}du}
[/mm]
[mm] I1=x^2*\bruch{2}{3}u^{1.5}-\bruch{4}{3}\integral{x*u^{1.5}du}
[/mm]
[mm] \underbrace{}_{=I2} [/mm]
I2= [mm] x*\bruch{2}{5}u^{2.5}-\bruch{2}{5}\integral{u^{2.5}du}
[/mm]
I2= [mm] x*\bruch{2}{5}u^{2.5}-\bruch{2}{5}*(\bruch{2}{7}u^{3,5})
[/mm]
ich würde dann I2 in I1 einsetzen und I1 in
[mm] =\bruch{1}{2}\integral{x^2*\wurzel{u} du}
[/mm]
[mm] \underbrace{}_{=I1}
[/mm]
einsetzen
danach rücksubstituieren und eventuell vereifachen.
simmt das dann soweit?
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Hallo hamma,
> ok,danke, blöder fehler von mir, ich versuchs nochmal:
>
> [mm]\integral{x^3*\wurzel{x^2-1}dx}[/mm]
>
> [mm]u:=x^2-1[/mm]
>
> [mm]=\integral{x^3*\wurzel{u}*\bruch{1}{2x} du}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2}\integral{x^2*\wurzel{u} du}[/mm]
>
> [mm]\underbrace{}_{=I1}[/mm]
>
> [mm]I1=x^2*\bruch{2}{3}u^{1.5}-\integral{2x*\bruch{2}{3}u^{1.5}du}[/mm]
>
> [mm]I1=x^2*\bruch{2}{3}u^{1.5}-\bruch{4}{3}\integral{x*u^{1.5}du}[/mm]
> [mm]\underbrace{}_{=I2}[/mm]
>
> I2= [mm]x*\bruch{2}{5}u^{2.5}-\bruch{2}{5}\integral{u^{2.5}du}[/mm]
>
> I2=
> [mm]x*\bruch{2}{5}u^{2.5}-\bruch{2}{5}*(\bruch{2}{7}u^{3,5})[/mm]
>
>
> ich würde dann I2 in I1 einsetzen und I1 in
>
> [mm]=\bruch{1}{2}\integral{x^2*\wurzel{u} du}[/mm]
>
> [mm]\underbrace{}_{=I1}[/mm]
>
> einsetzen
>
>
> danach rücksubstituieren und eventuell vereifachen.
> simmt das dann soweit?
>
Leider nicht.
Das Integral, das Du berechnen muß ist zunächst
[mm]\bruch{1}{2}\integral{x^2*\wurzel{u} du}[/mm]
Nach der Ersetzung [mm]x^{2}=u+1[/mm] ergibt sich folgendes Integral:
[mm]\bruch{1}{2}\integral{\left(u+1\right)*\wurzel{u} du}[/mm]
Das ist das Integral, das zu berechnen ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Mi 19.08.2009 | | Autor: | hamma |
danke für dein tipp, warum hätte ich nicht so weiter rechnen können?
ist das eine regel das jedes x durch die gleichung ( [mm] u=x^2-1 [/mm] ) ersetzt werden soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:45 Do 20.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst entweder ueber u oder ueber x integrieren, nicht ueber ein Mischmasch davon. wenn du also x durch u ersetzt immer alle, im Integral darf nur noch funktionen von u vorkommen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:54 Do 20.08.2009 | | Autor: | hamma |
danke leduard. gruß markus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:52 Do 20.08.2009 | | Autor: | hamma |
ok, ich versuche den integral fertigzurechnen,
[mm] u:=x^2-1
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\integral{(u+1)*\wurzel{u} dx}=\bruch{1}{2}\integral{u*\wurzel{u}+\wurzel{u}dx}= \bruch{1}{2}\integral{\wurzel{u} dx}+\bruch{1}{2}\integral{u*\wurzel{u} dx}
[/mm]
Nebenrechnung vom zweiten integral:
[mm] \bruch{1}{2}\integral{u*\wurzel{u} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}[u*\bruch{2}{3}u^{1.5}-\bruch{2}{3}\integral{1*u^{1.5} dx}] [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}[u*\bruch{2}{3}u^{1.5}-\bruch{2}{3}*\bruch{2}{5}u^{2.5}] [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}u^{2.5}-\bruch{4}{15}u^{2.5}
[/mm]
intgriert lautet das ergebnis:
[mm] \bruch{1}{3}u^{1.5}+ \bruch{1}{3}u^{2.5}-\bruch{4}{15}u^{2.5}
[/mm]
danach würde ich rücksubstituieren und vereinfachen. aber leider zeigt mein integralrechner ein anderes ergebnis.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:17 Do 20.08.2009 | | Autor: | Kroni |
> ok, ich versuche den integral fertigzurechnen,
Hi,
>
> [mm]u:=x^2-1[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral{(u+1)*\wurzel{u} dx}=\bruch{1}{2}\integral{u*\wurzel{u}+\wurzel{u}dx}= \bruch{1}{2}\integral{\wurzel{u} dx}+\bruch{1}{2}\integral{u*\wurzel{u} dx}[/mm]
>
du meinst wohl hier ueberall mit [mm] $\mathrm{d}x$ [/mm] ein [mm] $\mathrm{d}u$, [/mm] kann das sein? Denn ansonsten wuerde dort ueberall nur ueber x integriert, d.h. alle $u$ sind als konst. anzusehen...
> Nebenrechnung vom zweiten integral:
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral{u*\wurzel{u} dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}[u*\bruch{2}{3}u^{1.5}-\bruch{2}{3}\integral{1*u^{1.5} dx}][/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{2}[u*\bruch{2}{3}u^{1.5}-\bruch{2}{3}*\bruch{2}{5}u^{2.5}][/mm]
> = [mm]\bruch{1}{3}u^{2.5}-\bruch{4}{15}u^{2.5}[/mm]
>
> intgriert lautet das ergebnis:
>
> [mm]\bruch{1}{3}u^{1.5}+ \bruch{1}{3}u^{2.5}-\bruch{4}{15}u^{2.5}[/mm]
Sorry, aber hier blicke ich nicht durch, was du wo rechnest.
Du schreibst was vom 2. Integral, machst aber nen Misch aus allen...
Schreib dir das doch einfach nochmal in Ruhe auf:
[mm] $\int \frac{1}{2} u\sqrt{u}\,\mathrm{d}u [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \int u^{2/2}u^{1/2} \,\mathrm{d}u [/mm] = [mm] \frac{1}{2}\int u^{3/2} \,\mathrm{d}u=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5} u^{5/2}$
[/mm]
Damit hast du dann schon das 1. Integral geloest. Das 2. Integral ueber [mm] $\sqrt{u}$ [/mm] geht dann analog, und ergibt dann [mm] $\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}$. [/mm] Dann zusammenaddieren, zuruecksubst. und man ist fertig.
Du hast da irgendwo wieder zum berechnetem Integral wieder ein u mult. so dass da etwas anderes rauskommt, als rauskommen sollte.
LG
Kroni
>
> danach würde ich rücksubstituieren und vereinfachen. aber
> leider zeigt mein integralrechner ein anderes ergebnis.
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:32 Do 20.08.2009 | | Autor: | hamma |
danke,ja stimmt, ich meine du. ich versuchs nochmal zu rechnen.
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