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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Mato |
Hallo!
Die Aufgabe lautet:
Für das Wachstum einer Hopfenpflanze wird folgende Modellannahme getroffen: Die Wachstumsgeschwindigkeit w(t) [in cm/Tag] steigt innerhalb von 40 Tagen linear von 0 auf 25.
a) Geben Sie einen Term für w(t) an.
b) Zeigen Sie, dass man die Länge der Hopfenpflanze nach 40 Tagen mithilfe von Produktsummen als Integral ausdrücken kann und berechnen Sie es.
Mein Ansatz:
a) w(t)= [mm] \bruch{s}{T} [/mm] Kann das richtig sein?!
b)s=w(t) [mm] \* [/mm] T
Wenn man jetzt das Intervall [0;40] in n gleichlange Teilintervalle der Länge [mm] \bruch{40}{n} [/mm] unterteilt, dann hat man:
s= w(t) [mm] \* (\bruch{40}{n})
[/mm]
man bildet den Limes:
s= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{40}{n}) \* [/mm] w(t)
= [mm] \integral_{0}^{40} [/mm] {w(t) dx}= [mm] -\bruch{s}{1600} [/mm] Kann das richtig sein?!
Danke im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Disap |
> Hallo!
> Die Aufgabe lautet:
> Für das Wachstum einer Hopfenpflanze wird folgende
> Modellannahme getroffen: Die Wachstumsgeschwindigkeit w(t)
> [in cm/Tag] steigt innerhalb von 40 Tagen linear von 0 auf
> 25.
> a) Geben Sie einen Term für w(t) an.
> a) w(t)= [mm]\bruch{s}{T}[/mm] Kann das richtig sein?!
Mag sein, dass du das richtige meinst, aebr man muss hierbei etwas leichter überlegen.
Man hat hier zwei Punkte gegeben [mm] P_{1}(0|0) [/mm] und [mm] P_{2}(40|25). [/mm] Und mit zwei Punkten kann man die Geradengleichung y=mx+b ermitteln. Wo wohl y= [mm] \bruch{25}{40}x [/mm]
herauskommt
> b) Zeigen Sie, dass man die Länge der Hopfenpflanze nach 40
> Tagen mithilfe von Produktsummen als Integral ausdrücken
> kann und berechnen Sie es.
> s=w(t) [mm]\*[/mm] T
> Wenn man jetzt das Intervall [0;40] in n gleichlange
> Teilintervalle der Länge [mm]\bruch{40}{n}[/mm] unterteilt, dann hat
> man:
> s= w(t) [mm]\* (\bruch{40}{n})
[/mm]
> man bildet den Limes:
> s= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{40}{n}) \*[/mm] w(t)
> = [mm]\integral_{0}^{40}[/mm] {w(t) dx}= [mm]-\bruch{s}{1600}[/mm] Kann
> das richtig sein?!
> Danke im voraus!
>
Obs richtig ist, dazu kann ich nichts 100%iges sagen, aber Zerlegungssummen laufen ja auf das Integral hinaus. Man könnte natürlich die Geradengleichung integrieren und dann mit den gegebenen Intervallgrenzen rechnen, aber hier soll wohl eine andere Überlegung getroffen werden, denn bei Zerlegungssummen fragt man sich ja:
Am Ende des ersten Tages wäre sie [mm] \bruch{5}{8} [/mm] groß* [mm] \bruch{1}{2}(für [/mm] den [mm] Durchschnitt)=\bruch{5}{16} [/mm] (Wachstumsgeschwindigkeit)
Für alle weiteren Tage würde sich eine Formel ergeben:
[mm] (\bruch{5}{8}+t \bruch{5}{8})* \bruch{1}{2}
[/mm]
Da man jetzt für jeden Tag das zusammenaddieren müsste, kann man ausklammer, was auf:
[mm] \bruch{5}{8}\cdot{}\bruch{1}{2}(0+1+1+2+2+...+39+39+40)
[/mm]
hinausläuft.
Liebe Grüße Disap
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