Integralrechnung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:59 So 06.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Hallo!
Wie wird [mm] \integral {\wurzel{1+x²} dx} [/mm] integriert?
Es geht nicht mit der Substitutionsregel, da bei u = 1+x² -> xdx = 1/2 du.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:00 So 06.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi Sue
hier bietet sich die substitution [m] x = \sinh u [/m] an, da sich dann wegen des theorems [m] \cosh^2 u = 1 + \sinh^2 u [/m] die wurzel auflöst.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 So 06.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Hallo Andreas,
das Integral war Lösung einer Aufgabe zu Kurvenlängen:
Berechnen der Länge der Kurve y = [mm] \bruch{1}{2}x², [/mm] -1 [mm] \lex \le1
[/mm]
Am Ende muss rauskommen: [mm] \wurzel{2} [/mm] + ln(1 + [mm] \wurzel{2}) \approx [/mm] 2,30 (also ohne diesen sinh)
Wenn ich das Integral [mm] \integral_{-1}^{1} {\wurzel{1+x²} dx} [/mm] in meinen Taschenrechner eingebe, kommt auch dieser Wert heraus.
Eine weitere Aufgabe ist:
x(t) = ln t, y(t) = [mm] 2\wurzel{t}, [/mm] 3 [mm] \le [/mm] t [mm] \le8
[/mm]
Dabei kommt das Integral
[mm] \integral_{3}^{8} {\wurzel{\bruch{1}{t} + \bruch{1}{\wurzel{t}}} dt} [/mm] heraus.
Lösung ist: 2 + ln [mm] \bruch{3}{2} \approx [/mm] 2.41
Wie kommt man darauf?
MfG Sue
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 So 06.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Sorry, nach dem Quadrieren lautet das Integral in der 2. Aufgabe natürlich:
[mm] \integral_{3}^{8} {\wurzel{\bruch{1}{t²} + \bruch{1}{t}} dx}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 So 06.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
zu der ersten aufgabe: ich bin mir recht sicher, dass da diese sinh-substitution zum ziel führt. den logarithmus erhälst du, da deine grenzen dann entsprechend [m] \textrm{areasinh}(-1) [/m] und [m] \textrm{areasinh}(1) [/m] sind (wobei [m] \textrm{areasinh} [/m] die umkehrfunktion des sinushyperbolicus bezeichne) und die formel [m]\textrm{areasinh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) [/m] gilt (schaue dazu am besten mal im bronstein oder einer ähnlichen formelsamlung nach ...)
zu deiner neu gestellten aufgabe würde ich dir empfehlen alles auf einen bruchstrich zu bringen und wieder das [m] \frac{1}{t^2} [/m] aus der wurzel zu ziehen. so erhälst du dann nach den angeben in deiner mitteileung [m] \int_3^8 \frac{\sqrt{1 + t}}{t} \, \textrm{d}t [/m] substituierst du nun [m] s = \sqrt{1+t} [/m], also [m] t = s^2 + 1 [/m] und [m] \textrm{d}t = 2s \, \textrm{d}s [/m] so geht das integral über in [m] \int_2^3 \frac{s}{s^2 + 1} 2s \, \textrm{d}s [/m] und das sollte mit polynomdivision und anschliesender partialbruchzerlegung zu lösen sein.
probiere mal dein glück.
grüße
andreas
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