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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Für jedes t [mm] \in \IR [/mm] ist die Funktion [mm] f_{t} [/mm] gegeben durch
[mm] f_{t}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(x-2t)*e^{ \bruch{x}{t}}
[/mm]
Das Schaubild von [mm] f_{t} [/mm] heißt [mm] K_{t}
[/mm]
Für u [mm] \in [/mm] ]0;4[ legen die Punkte O(0|0), P(0|-2), [mm] Q(u|f_{2}(u)) [/mm] und R(4|0) ein Viereck fest. Berechnen sie u so, dass der Flächeninhalt des Vierecks ein Viertel des Inhalst der von [mm] K_{2} [/mm] und [mm] K_{-2} [/mm] eingeschlossenen Fläche beträgt. |
Hallo. Mit dieser Aufgabe komme ich nicht zurecht.
Zum Flächeninhalt, den man erst einmal berechnen muss
[mm] A=\integral_{a}^{b} f_{-2} [/mm] - [mm] f_{2} [/mm] dx
[mm] f_{-2} [/mm] - [mm] f_{2} [/mm] = g(x) = [mm] (\bruch{1}{2}x-2)*e^{ \bruch{x}{2}}- (\bruch{1}{2}x+2)*e^{ \bruch{-x}{2}}
[/mm]
0 = g(x)
Und wie komme ich da nun auf die Nullstellen? Durch [mm] e^{ \bruch{-x}{2}} [/mm] zu teilen hat mich nicht wirklich weitergebracht.
Bringe ich das eine auf die andere Seite
[mm] (\bruch{1}{2}x-2)*e^{ \bruch{x}{2}}= (\bruch{1}{2}x+2)*e^{ \bruch{-x}{2}}
[/mm]
und nehme den ln, bringt mich das irgendwie auch nicht weiter! Bzw. davon kann ich gar nicht den LN nehmen, wegen dem Ausdruck:
[mm] \bruch{1}{2}x+2
[/mm]
Wie bekomme ich ansonsten die Nullstellen heraus? Ist Näherungsweise hier die einzige Möglichkeit oder handel ich wieder zu vorschnell? Denn ich sehe es nicht.
Die Nullstellen sind ungefähr bei x [mm] \pm [/mm] 4,13
(Wenn ich mich nicht vertippt habe, kommt das auch hin).
[mm] A=\integral_{4,13}^{-4,13} f_{-2} [/mm] - [mm] f_{2} [/mm] dx = 26,92
(Das Ergebnis ist definitiv richtig - Es geht mir bis jetzt nur um die Nullstellen)
Und nun soll der Flächeninhalt des Vierecks ein Viertel betragen.
[mm] A_{Viereck}= [/mm] 26,92 : 4 = 6,73
Ich habe nun den Ansatz gewählt
[mm] A_{Viereck}= \vec{a}* \vec{b}
[/mm]
[mm] \vec{a}= \overrightarrow{OP}= \vektor{0 \\ -2}
[/mm]
[mm] \vec{b}= \overrightarrow{QR}= \vektor{4-u \\ -f(u)}
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] A_{Viereck}= \vektor{0 \\ -2}*\vektor{4-u \\ -f(u)}
[/mm]
Das mal finde ich irgendwie heftig. Ich meine mich erinnern zu können, dass man keine Vektoren "multiplizieren" kann... Naja, jedenfalls habe ich etwas ganz blödsinniges getan:
[mm] A_{Viereck}=(0*(4-u))+(-2*(-f(u)) [/mm] = 0 + 2 f(u) = [mm] 2*0,5(x-2*2)*e^{ \bruch{u}{2}} [/mm] = [mm] (x-4)*e^{ \bruch{u}{2}} [/mm]
Der Wert fürs Viereck:
6,73 = [mm] (x-4)*e^{ \bruch{u}{2}} [/mm]
Was ich jetzt auch wiederum nicht lösen kann. Was in einer Art wiederum bedeutet, dass es falsch ist.
Grüße Phoney
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Mi 04.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Nullstellen kann ich auch nicht besser und 4,13 ist die beste Näherung für 2 nachkommastellen. Das viereck teilst du am besten in 2 Dreiecke, Eine Grundseite v0n (0,0) nach(0.-2) Höhe u, das zwite Grundsete (0,0) nach (4,0) Höhe f(u). ich hoff, damit kommst du weiter.
Inhalt des 4-Ecks als Skalarprodukt von 2 Vektoren ist falsch. Es gibt das sog. Vektorprodukt oder Kreuzprodukt, mit dem man den Flächeninhalt von Parallelogrammen ausrechnen kann. Aber das habt ihr wahrscheinlich nicht gehabt, und ist hier auch überflüssig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Phoney |
> Hallo
Hallo.Danke erst einmal leduart für deine Antwort. Aber leider habe ich noch einige Verständnisprobleme...
> die beste Näherung für 2 nachkommastellen. Das viereck
> teilst du am besten in 2 Dreiecke, Eine Grundseite v0n
> (0,0) nach(0.-2) Höhe u, das zwite Grundsete (0,0) nach
> (4,0) Höhe f(u). ich hoff, damit kommst du weiter.
> Inhalt des 4-Ecks als Skalarprodukt von 2 Vektoren ist
Woher weiss ich, dass ich eben dieses Viereck in zwei Dreiecke aufteilen muss? Kann man das generell so machen?
> falsch. Es gibt das sog. Vektorprodukt oder Kreuzprodukt,
> mit dem man den Flächeninhalt von Parallelogrammen
> ausrechnen kann. Aber das habt ihr wahrscheinlich nicht
> gehabt, und ist hier auch überflüssig.
> Gruss leduart
Das verstehe ich jetzt nicht. Soll das heissen, ohne dieses Vektorprodukt könnte ich das nicht berechnen? D.h. ich darf überhaupt keine Vektoren bilden (Gehen wir davon aus, ich habe nur das Wissen vom Skalarprodukt).
Grüße Phoney
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Mi 04.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo phoney
Ja, alle allgemeinen geschlossenen Polygone, also auch ein allgemeines Viereck muss man in geeignete Dreiecke zerlegen, um ihren Flächeninhalt zu bestimmen.
Das Skalarprodukt zw. 2 Vektoren [mm] \vec{a}* \vec{b}=|a|*|b|*cos\alpha, \alpa [/mm] der Winkel zw. [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}. [/mm] daraus kann man [mm] \alpha [/mm] ermitteln und die Höhe im Dreieck aus [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}. [/mm] aber nicht den Flächeninhalt eines Vierecks!
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Do 05.01.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Für jedes t $ [mm] \in \IR [/mm] $ ist die Funktion $ [mm] f_{t} [/mm] $ gegeben durch
$ [mm] f_{t}(x) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{2}(x-2t)\cdot{}e^{ \bruch{x}{t}} [/mm] $
Das Schaubild von $ [mm] f_{t} [/mm] $ heißt $ [mm] K_{t} [/mm] $
Für u $ [mm] \in [/mm] $ ]0;4[ legen die Punkte O(0|0), P(0|-2), $ [mm] Q(u|f_{2}(u)) [/mm] $ und R(4|0) ein Viereck fest. Berechnen sie u so, dass der Flächeninhalt des Vierecks ein Viertel des Inhalst der von $ [mm] K_{2} [/mm] $ und $ [mm] K_{-2} [/mm] $ eingeschlossenen Fläche beträgt. |
Hallo nochmals an alle.
Dank Leduart habe ich nun einen Ansatz gefunden, nämlich dieses Viereck in zwei Dreiecke zu unterteilen.
Ich habe nun ein Dreieck aus den Punkten O P und Q gebildet
sowie eines aus den Punkten O, R und Q. Mein Problem ist nun, dass es keine rechtwinkligen Dreiecke sind und ich somit zunächst den Winkel alpha ausrechnen muss.
Betrachte ich das Dreieck O P und Q
A= [mm] \bruch{g*h}{2}
[/mm]
g = [mm] \vec{a}= \overrightarrow{OP}
[/mm]
h = Und hier ist das Problem.
Da es kein rechtwinkliges Dreieck ist, muss ich die Höhe einzeichnen und habe ein rechtwinkliges Dreieck. Nun wird allerdings der Winkel alpha problematisch, den ich berechnen möchte.
[mm] \alpha= [/mm] arc cos [mm] (\bruch{\overrightarrow{OP}*\overrightarrow{PQ}}{|\overrightarrow{OP}|*|\overrightarrow{PQ}|})
[/mm]
Nun macht mir der Punkt Q zu schaffen, der doch so lautet: [mm] Q(u|f_{2}(u))
[/mm]
Mit dem arc cos würde ich einen Ausdruck bekommen, den man erst einmal so nicht lösen kann.
Also mache ich wohl etwas falsch?
Wie komme ich an den Winkel alpha oder an die Höhe?
Grüße Phoney
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Do 05.01.2006 | | Autor: | Quedrum |
Hallo Phoney,
dein Ansatz ist schonmal nicht schlecht, die Höhe musst du aber nicht so kompliziert berechnen.
Einfach mal überlegen, was die Höhe in dem Dreieck ist, du brauchst da keine Winkel dafür. Da hilt der ganz einfach der Punkt Q
Und genauso kannst du dann das andere Dreieck ausrechnen...
Hoffe du kommst selbst drauf...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Do 05.01.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
> dein Ansatz ist schonmal nicht schlecht, die Höhe musst du
> aber nicht so kompliziert berechnen.
> Einfach mal überlegen, was die Höhe in dem Dreieck ist, du
> brauchst da keine Winkel dafür. Da hilt der ganz einfach
> der Punkt Q
>
> Und genauso kannst du dann das andere Dreieck
> ausrechnen...
>
Ne, das hat mir leider überhaupt nicht geholfen.
Ich habe kein rechtwinkliges Dreieck, kein gleichschenkliges, halt so ein anderes.
Von diesem Dreieck kenne ich alle Punkte/Seitenlängen. Diese Seitenlängen sind nicht die Höhe -> also brauche ich einen Winkel für die Höhe.
Ich komme nicht drauf. Pythagoras scheidet wohl aus, da Höhe unbekannt. Und mit den Winkelformeln (Sinus, Cosinus etc.) komme ich auch nicht weiter.
Und da es kein rechtwinkliges Dreieck ist, ist die Höhe nicht | [mm] \overrightarrow{OQ}|
[/mm]
> Hoffe du kommst selbst drauf...
Bedauerlicherweise nicht. Kann man mirs vorsagen? :)
Grüße Phoney
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Do 05.01.2006 | | Autor: | Quedrum |
Du musst auch nicht [mm]|OQ|[/mm] als Gerade, sondern nur den x-Wert nehmen.
Im konkreten Fall ist die Höhe einfach [mm]u[/mm].
Also:
Flächeninhalt Dreieck [mm]= (2*u)/2 = u[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 Do 05.01.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo
> Du musst auch nicht [mm]|OQ|[/mm] als Gerade, sondern nur den x-Wert
> nehmen.
> Im konkreten Fall ist die Höhe einfach [mm]u[/mm].
>
> Also:
>
> Flächeninhalt Dreieck [mm]= (2*u)/2 = u[/mm]
Stimmt, da hätte ich selbst drauf kommen müssen.
Vielen dank allerdings für diese Antwort.
Grüße Phoney
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