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Gegeben ist die Funktiuon f(x) = -x²+2x. Der Graph dieser Funktion bildet eine Fläche mit der x-Achse. Eine Ursprungsgerade teilt diese Fläche in genau 2 gleich große Teile. Bestimme die Funktion der Ursprungsgerade!
Wer kann mir diese Aufgabe lösen?
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Hallo gustavmahler,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben ist die Funktion [mm] $f\left(x\right) [/mm] = [mm] -x^2 [/mm] + 2x$. Der Graph dieser
> Funktion bildet eine Fläche mit der x-Achse. Eine
> Ursprungsgerade teilt diese Fläche in genau 2 gleich große
> Teile. Bestimme die Funktion der Ursprungsgerade!
Sei [mm] $g\left(x\right) [/mm] := ax$ die gesuchte Ursprungsgerade, die den obigen Bedingungen genügt. Was wissen wir über diese Gerade? Zunächst einmal schneidet sie $f$ in 2 Punkten. Dort gilt:
[mm] $-x^2 [/mm] + 2x = ax [mm] \Leftrightarrow -x^2 [/mm] + [mm] \left(2-a\right)x [/mm] = 0$. Eigentlich sieht man hier auch sofort die Nullstellen: [mm] $x_1 [/mm] = 0 [mm] \vee x_2 [/mm] = 2-a$.
Um $a$ passend wählen zu können, benötigen wir den Flächeninhalt, der von $f$ eingeschlossen wird. Dazu berechnen wir jetzt die Nullstellen von $f$:
[mm] $-x^2 [/mm] + 2x = 0$ und wieder sieht man: [mm] $x_1 [/mm] = 0 [mm] \vee x_2 [/mm] = 2$.
Machen wir uns an dieser Stelle mal eine Skizze von dem, was wir bereits haben:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aus welchen Flächen besteht also die Hälfte der Fläche von 0 bis 2, die von $f$ eingeschlossen wird? Doch wohl aus der Fläche von 0 bis $2 - a$, die von $g$ eingeschlossen wird, und von $2 - a$ bis 2, die von $f$ eingeschlossen wird. Die Summe dieser Teilflächen ergibt gerade die gesuchte Fläche. Diesen Sachverhalt drücken wir mathematisch formal aus:
[mm]\frac{{\int\limits_0^2 {\left( { - x^2 + 2x} \right)dx} }}
{2} = \int\limits_0^{2 - a} {ax} dx + \int\limits_{2 - a}^2 {\left( { - x^2 + 2x} \right)} dx[/mm]
Dies ist letztlich eine Gleichung mit nur einer Unbekannten. Löse Diese nach $a$ auf, und Du bist fertig. Als Tip:
1.) Es kommt eine irrationale Zahl raus, die aus einer Differenz besteht.
2.) Wenn Du diese Gleichung auflöst, so wende auf keinen Fall die binomischen Formeln an! Versuche stattdessen das Ganze geschickt aufzulösen (sinnvoll Klammern; Gleichung an geeigneter Stelle mit -2 multiplizieren), und Du bist schnell fertig. Oder benutze die binomischen Formeln, und leide ein Bißchen. ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
Viele Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:58 Fr 18.11.2005 | | Autor: | gustavmahler |
Hallo Karl_Pech,
danke für Deine schnelle und umfangreiche Antwort. Das Problem ist allerdings: bis zur Aufstellung der Integrale bin ich/sind wir auch schon in ähnlicher Weise gekommen und haben auch, wie von Dir richtig erkannt fürchterlich gelitten, wegen der binomischen Formeln. Leider sind wir in eine Sackgasse geraten. Kannst Du mir bitte die vollständige Auflösung der Integralgleichung aufschreiben. Deine Methode habe ich nicht ganz verstanden.
Das wäre riesig nett und ich bedanke mich tausend mal bei dir.
Gruß
gustavmahler
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:16 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo gustavmahler,
> [..] und haben auch, wie von Dir richtig erkannt fürchterlich
> gelitten, wegen der binomischen Formeln. Leider sind wir in
> eine Sackgasse geraten.
Es wäre schön, wenn Du uns dann deinen Rechenweg bis zu dem Punkt aufschreiben würdest, wo Du gescheitert bist. Dann müßte ich nämlich nicht schon Probleme lösen, die ihr bereits gelöst habt.
Hast Du übrigens versucht den Tipp, den ich dir für das Lösen der Gleichung gegeben habe, zu befolgen? Damit hättest Du nämlich gar keine binomischen Formeln benutzen müssen.
Viele Grüße
Karl
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