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| Aufgabe | Gegeben sei die DG
x' = y
y' = y² - 1
(x; y) [mm] \in [/mm] IR²
Bestimmen Sie alle Integralkurven der Differentialgleichung und zeich-
nen Sie das Phasenporträt.
Hinweis: Beschreiben Sie die Integralkurven in der Form y = g(x) oder
x = h(y). |
Also ich habe die Differentialgleichung durch Seperation der Variablen gelöst, nur habe ich Probleme damit die Integralkurven zu bestimmen, normal haben wir das immer mit Hilfe von Erhaltungsgrößen gemacht, nur wie mache ich es da? Ich verstehe den Hinweis nicht....
Wäre für jegliche Hilfe wirklich dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:02 Di 20.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben sei die DG
> x' = y
> y' = y² - 1
> (x; y) [mm]\in[/mm] IR²
>
> Bestimmen Sie alle Integralkurven der Differentialgleichung
> und zeich-
> nen Sie das Phasenporträt.
> Hinweis: Beschreiben Sie die Integralkurven in der Form y
> = g(x) oder
> x = h(y).
>
>
> Also ich habe die Differentialgleichung durch Seperation
> der Variablen gelöst, nur habe ich Probleme damit die
> Integralkurven zu bestimmen, normal haben wir das immer mit
> Hilfe von Erhaltungsgrößen gemacht, nur wie mache ich es
> da? Ich verstehe den Hinweis nicht....
Schreib doch mal auf, was du hast!
Ich vermute, du hast die Lösungen in der Form $x(t)$, $y(t)$. Jetzt eliminierst du t, indem du eine der beiden Funktionen nach t auflöst und in die andere einsetzt.
Viele Grüße
Rainer
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also ich habe es so gelöst:
dx/dy = y/(y² - 1) /*dy
dx = y(y²-1)dy / [mm] \integral
[/mm]
[mm] \integral [/mm] dx = [mm] \integral [/mm] y(y²-1)dy
x(t) = 1/2*ln(y²-1) + c
stimmt das bis jetzt? wie genau kann ich das jetzt nach t auflösen?
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Hallo Inocencia,
> also ich habe es so gelöst:
>
> dx/dy = y/(y² - 1) /*dy
> dx = y(y²-1)dy / [mm]\integral[/mm]
> [mm]\integral[/mm] dx = [mm]\integral[/mm] y(y²-1)dy
> x(t) = 1/2*ln(y²-1) + c
>
> stimmt das bis jetzt? wie genau kann ich das jetzt nach t
> auflösen?
Das Auflösen nach t hast Du trickreich umgangen.
Die implizite Integralkurve lautet damit
[mm]x = 1/2*ln\vmat{y^{2}-1} + c[/mm]
Gruss
MathePower
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Vielen Dank für die Antwort.
Jetzt muss ich noch Fallunterscheidungen für c machen oder? (c=0, c<0, c>0), bzw. wie bestimme ich alle Integralkurven?
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Hallo Inocencia,
> Vielen Dank für die Antwort.
> Jetzt muss ich noch Fallunterscheidungen für c machen
> oder? (c=0, c<0, c>0), bzw. wie bestimme ich alle
> Integralkurven?
Es sind noch die Integralkurven für [mm]\vmat{y}=1[/mm] anzugeben.
Gruss
MathePower
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