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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Tinchen |
Hallo Leute!
Hier habe ich noch ´ne schöne schwere Aufgabe, mit der ich nichts anfangen kann! Kann jemand helfen?
Untersuchen Sie die Reihe [mm] \summe_{j=0}^{\infty} (-1)^j x^{2j} [/mm] im Intervall [-q,q] bei beliebigem, aber festem q [mm] \in [/mm] (0,1) sqwie im Intervall (-1,1) auf gleichmäßige Konvergenz.
Unter Verwendung von oben genannten gebe man eine Potenzreihendarstellung für arctan(x) im Intervall (-1,1) an.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Mi 04.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
kannst du dir noch mal dein Formel ansehen? sie sieht falsch aus!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo
ich habe die Formel doch korrigiert! Ist sie denn immer noch falsch?
So ist es mir jedenfalls gelungen, diese bis auf die Form [mm] $\bruch{1}{x^2+1}$ [/mm] zu vereinfachen (Geometrische Reihe), und dann scheint sie ja zu stimmen, weil der Arcustangens doch eine Stammfunktion davon ist?!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Mi 04.05.2005 | | Autor: | volta |
Jo, das stimmt soweit (ich sitz' mit Tinchen in der selben Übung). Den Trick mit der geometrischen Reihe hab ich mir auch gedacht (Ist das nicht etwas zu leicht?!?).
Nun weiss man ja, daß [mm] $\integral_{0}^{x} {\bruch{dt}{1+t^{2}}} [/mm] = [mm] \arctan(x)$.
[/mm]
Also muss das wegen der gleichmäßigen Konvergenz auch für die Reihe gelten:
[mm] $\integral_{0}^{x} {\summe_{j=0}^{\infty}(-t^{2})^{j} dt} [/mm] = [mm] \summe_{j=0}^{\infty}(-1)^{j}\integral_{0}^{x} {t^{2} dt} [/mm] = [mm] \summe_{j=0}^{\infty}(-1)^{j} \bruch{x^{2j+1}}{2j+1}$
[/mm]
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