Integralformel von Cauchy < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:32 Di 06.05.2008 | | Autor: | Jaqueline88 |
| Aufgabe | Berechnen Sie,
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{5/4 +sin(t)}dx} [/mm] |
Hi
ich weiß echt nicht was ich da machen soll. Hab einen Tipp zur Aufgabe bekommen der lautet:
Versuch das Integral auf die Form [mm] \integral_{\gamma}{f(z) dz} [/mm] zu bringen wobei [mm] \gamma [/mm] der Weg ist der einmal entlang von [mm] \delta [/mm] B1(0) verläuft.
Also mit [mm] \gamma [/mm] (t)=0+1exp(it)= exp(it). Oder???
Mit Cauchys integralformel bekommt man das ja auf diese Form, hab ich auch versucht, aber das bringt für ausrechnen nichts soweit ich das sehe.
Hoffe jemand kann mit dabei helfen.
Vielen Dank schon mal
Jaquy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Jaqueline88,
> Berechnen Sie,
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{5/4 +sin(t)}dx}[/mm]
> Hi
> ich weiß echt nicht was ich da machen soll. Hab einen Tipp
> zur Aufgabe bekommen der lautet:
> Versuch das Integral auf die Form [mm]\integral_{\gamma}{f(z) dz}[/mm]
> zu bringen wobei [mm]\gamma[/mm] der Weg ist der einmal entlang von
> [mm]\delta[/mm] B1(0) verläuft.
> Also mit [mm]\gamma[/mm] (t)=0+1exp(it)= exp(it). Oder???
> Mit Cauchys integralformel bekommt man das ja auf diese
> Form, hab ich auch versucht, aber das bringt für ausrechnen
> nichts soweit ich das sehe.
Poste mal Dein [mm]f\left(z\right)[/mm].
> Vielen Dank schon mal
>
> Jaquy
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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also mit cauchy integralformel:
mit f(t)= [mm] \bruch{1}{5/4 + sin(t)}
[/mm]
f(t) = [mm] \bruch{1}{2 \pi i} \integral_{\gamma}^{}{\bruch{f(w)}{w-t} dw}
[/mm]
um dann dass integral davon zu haben müsste ich dass ja noch mal integrieren. da hörts dann ganz auf mit meinem verständniss^^
Oder ist der Cauchy satz hier vielleicht gar nicht nötig?
Weiß auch überhaupt nicht wie ich den Tipp anders einsetzen sollte.
Hoffe ihr könnt mir helfen.
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Hallo Jaqueline88,
> also mit cauchy integralformel:
>
> mit f(t)= [mm]\bruch{1}{5/4 + sin(t)}[/mm]
>
Ersetze hier .
[mm]\sin\left(t\right)=\bruch{e^{it}-e^{-it}}{2i}[/mm]
bzw.
[mm]z=e^{it}[/mm]
Dann kommst Du auf die Form [mm]\integral_{}^{}{f(z) \ dz}[/mm]
>
>
> f(t) = [mm]\bruch{1}{2 \pi i} \integral_{\gamma}^{}{\bruch{f(w)}{w-t} dw}[/mm]
>
> um dann dass integral davon zu haben müsste ich dass ja
> noch mal integrieren. da hörts dann ganz auf mit meinem
> verständniss^^
> Oder ist der Cauchy satz hier vielleicht gar nicht nötig?
> Weiß auch überhaupt nicht wie ich den Tipp anders
> einsetzen sollte.
> Hoffe ihr könnt mir helfen.
>
Gruß
MathePower
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also danke schon mal für die schnelle Antwort
[mm] \bruch{1}{5/4+sin(t)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5/4+(e^{it}-e^{-it})/2i}
[/mm]
[mm] =(\bruch{5i}{4i} +\bruch{2(e^{it}-e^{-it})}{4i})^{-1}
[/mm]
[mm] =\bruch{4i}{5i +2e^{it}-2e^{-it}}
[/mm]
Jetzt kann ich nicht weiter umformen und habs nocht nicht in der Form in der ich Cauchy anwenden kann. Oder steh ich jetzt ganz auf dem Schlauch.
Hoffe du kannst mir wieder helfen.
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hi nochmal.
sorry hab jetzt ganz vergessen dass mit dem [mm] z=e^{it} [/mm] einzubauen.
Problem ist doch dass ich im Komplexen dass mit der Potenzregeln nicht alles machen darf. dann kann ich doch nciht sagen [mm] z^{-1} [/mm] = [mm] e^{-it}. [/mm] oder??
Danke schon mal noch mal^^
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Hallo Jaqueline88,
> also danke schon mal für die schnelle Antwort
>
>
> [mm]\bruch{1}{5/4+sin(t)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{5/4+(e^{it}-e^{-it})/2i}[/mm]
>
> [mm]=(\bruch{5i}{4i} +\bruch{2(e^{it}-e^{-it})}{4i})^{-1}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{4i}{5i +2e^{it}-2e^{-it}}[/mm]
Das sieht doch schon mal ganz gut aus.
>
> Jetzt kann ich nicht weiter umformen und habs nocht nicht
> in der Form in der ich Cauchy anwenden kann. Oder steh ich
> jetzt ganz auf dem Schlauch.
> Hoffe du kannst mir wieder helfen.
>
Substituiere [mm]z=e^{it}[/mm]
Und im Integral mußt Du dann auch dt ersetzen.
Gruß
MathePower
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hi danke danke, ich glaub ich habs, stand nur auf der Leitung. aber noch mal zur Kontrolle:
mit [mm] e^{it}=cos(t)+isin(t)=z
[/mm]
also [mm] e^{-it}=cos(-t)+isin(-t)=cos(t)-isin(t)=\overline{z}
[/mm]
und Substitution und Umformung von dz/dt
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{5/4 +sin(t)}dx} [/mm]
[mm] =\integral_{\gamma}^{}{\bruch{4}{z(5i+2z-2\overline{z})} dz}
[/mm]
[mm] =\integral_{\gamma}^{}{\bruch{4}{5i+2z-2\overline{z}}/(z-0) dz}
[/mm]
dann cauchy: also ist das integral [mm] 2\pi [/mm] i f(0) (mit f dem ganzen zeug was im letzten Integral sthet außer das durch z-0)
hoffe das ist jetzt nicht zu konfus.
danke danke schon mal. wenn du mir noch sagen könntest obs jetzt stimmt wäre das mega klasse.
Liebe Grüße
Jaquy
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Hallo Jaqueline88,
> hi danke danke, ich glaub ich habs, stand nur auf der
> Leitung. aber noch mal zur Kontrolle:
>
> mit [mm]e^{it}=cos(t)+isin(t)=z[/mm]
> also [mm]e^{-it}=cos(-t)+isin(-t)=cos(t)-isin(t)=\overline{z}[/mm]
> und Substitution und Umformung von dz/dt
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{5/4 +sin(t)}dx}[/mm]
> [mm]=\integral_{\gamma}^{}{\bruch{4}{z(5i+2z-2\overline{z})} dz}[/mm]
Setze hier [mm]\overline{z}=\bruch{1}{z}[/mm]
Dann schreibt sich das so:
[mm]\integral_{\gamma}^{}{\bruch{4}{z(5i+2z-2\bruch{1}{z})} dz}[/mm]
Noch etwas umformen:
[mm]=\integral_{\gamma}^{}{\bruch{4}{z(5i+2z-2\overline{z})} \ dz=\integral_{\gamma}^{}{\bruch{4}{5iz+2z^{2}-2} dz}}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{\gamma}^{}{\bruch{4}{5i+2z-2\overline{z}}/(z-0) dz}[/mm]
>
> dann cauchy: also ist das integral [mm]2\pi[/mm] i f(0) (mit f
> dem ganzen zeug was im letzten Integral sthet außer das
> durch z-0)
>
> hoffe das ist jetzt nicht zu konfus.
> danke danke schon mal. wenn du mir noch sagen könntest obs
> jetzt stimmt wäre das mega klasse.
Ja, das stimmt jetzt.
Dann kannst Du jetzt die ![[]](/images/popup.gif) Residuen dieser Funktion ausrechnen.
>
> Liebe Grüße
> Jaquy
>
>
Gruß
MathePower
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