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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Sa 04.05.2013 | | Autor: | LukasDer |
| Aufgabe | f(x)= [mm] x^{}2
[/mm]
P(a/f(a))
Y-Achse
begrenzen eine Fläche A. Beweisen Sie, dass der Flächeninhalt [mm] A=\bruch{1}{3} a^{2} [/mm] ist. |
Ich verstehe die Aufgabe bis zum dem Punkt, an dem die Funktion der Tangente (g(x)) die man zuvor gebildet hat von der Funktion f(x) abzieht
[mm] \Rightarrow \integral_{0}^{a}{g(x)-f(x) dx} [/mm] .
Wieso wird die Funktion der Tangente von der Fuktion f(x) abgezogen?
Normalerweise wird, wenn der Flächeninhalt zwischen bestimmten Funktionen gesuch ist die oberer Funktion von der Unteren abgezogen..
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> f(x)= [mm]x^{}2[/mm]
> P(a/f(a))
> Y-Achse
> begrenzen eine Fläche A. Beweisen Sie, dass der
> Flächeninhalt [mm]A=\bruch{1}{3} a^{2}[/mm] ist.
Hallo,
die Aufgabenstellung ist doch nicht vollständig.
Die bräuchte man schon...
LG Angela
> Ich verstehe die Aufgabe bis zum dem Punkt, an dem die
> Funktion der Tangente (g(x)) die man zuvor gebildet hat von
> der Funktion f(x) abzieht
> [mm]\Rightarrow \integral_{0}^{a}{g(x)-f(x) dx}[/mm] .
> Wieso wird die Funktion der Tangente von der Fuktion f(x)
> abgezogen?
> Normalerweise wird, wenn der Flächeninhalt zwischen
> bestimmten Funktionen gesuch ist die oberer Funktion von
> der Unteren abgezogen..
>
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Sa 04.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> f(x)= [mm]x^{}2[/mm]
> P(a/f(a))
> Y-Achse
> begrenzen eine Fläche A. Beweisen Sie, dass der
> Flächeninhalt [mm]A=\bruch{1}{3} a^{2}[/mm] ist.
> Ich verstehe die Aufgabe bis zum dem Punkt, an dem die
> Funktion der Tangente (g(x)) die man zuvor gebildet hat von
> der Funktion f(x) abzieht
> [mm]\Rightarrow \integral_{0}^{a}{g(x)-f(x) dx}[/mm] .
> Wieso wird die Funktion der Tangente von der Fuktion f(x)
> abgezogen?
g(x) ist die Tangente, und bis zum Punkt P(a|a²) liegt die Tangente [EDIT: $ [mm] g(x)=2a\cdot{}x-a^{2} [/mm] $ oberunterhalb der Parabel f, denn der y-Achsenabschnitt der Tangente ist definitiv positiv negativ, unabhängig von a.
> Normalerweise wird, wenn der Flächeninhalt zwischen
> bestimmten Funktionen gesucht ist die oberer Funktion von
> der Unteren abgezogen..
>
Da irrst du dich. Wenn du das ganze "absichern" willst, nimm den Betrag des Integrals:
Also
[mm] A=\left|\int\limits_{a}^{b}f(x)-g(x)dx\right|
[/mm]
Damit bist du auf der Sicheren Seite, egal wieherum die Funktionen liegen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Sa 04.05.2013 | | Autor: | LukasDer |
| Aufgabe | | Exakte Fragestellung: Beweisen Sie: Der Graph von f mit [mm] f(x)=x^{2} [/mm] , die Tangente an f in P(a,f(a)) und die y-Achse begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A [mm] =1/3a^{3} [/mm] |
Die Funktion g(x) der Tangente habe ich wie folgt errechnet:
y=m*x+b
m=f´(a) [mm] \Rightarrow [/mm] m=2*a
y=f(a) [mm] \Rightarrow y=a^2
[/mm]
[mm] a^{2}=2*a*a+b
[/mm]
[mm] -a^{2}=b
[/mm]
[mm] y=2a*x-a^{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Sa 04.05.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Exakte Fragestellung: Beweisen Sie: Der Graph von f mit
> [mm]f(x)=x^{2}[/mm] , die Tangente an f in P(a,f(a)) und die y-Achse
> begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A [mm]=1/3a^{3}[/mm]
> Die Funktion g(x) der Tangente habe ich wie folgt
> errechnet:
> y=m*x+b
> m=f´(a) [mm]\Rightarrow[/mm] m=2*a
> y=f(a) [mm]\Rightarrow y=a^2[/mm]
> [mm]a^{2}=2*a*a+b[/mm]
> [mm]-a^{2}=b[/mm]
>
> [mm]y=2a*x-a^{2}[/mm]
das stimmt.
>
>
>
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Sa 04.05.2013 | | Autor: | LukasDer |
Trotzdem verstehe ich nicht, warum zur Flächeninhaltsberechnung
[mm] \integral_{0}^{a}{g(x)-f(x) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{a}{2ax-a^{2}-x^{2}} [/mm] gerechnet wird.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Sa 04.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Trotzdem verstehe ich nicht, warum zur
> Flächeninhaltsberechnung
> [mm]\integral_{0}^{a}{g(x)-f(x) dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{a}{2ax-a^{2}-x^{2}}[/mm] gerechnet wird.
Kann es sein, dass du Betragsstriche um das Integral stehen hast? Denn dann ist es in der Tat egal, ob du im Integral f(x)-g(x) oder g(x)-f(x) rechnest, denn
[mm] \int\limits_{a}^{b}f(x)-g(x)dx=-\int\limits_{a}^{b}g(x)-f(x)dx
[/mm]
Und daher dann:
[mm] \left|\int\limits_{a}^{b}f(x)-g(x)dx\right|=\left|\int\limits_{a}^{b}g(x)-f(x)dx\right|
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Sa 04.05.2013 | | Autor: | LukasDer |
Also ist es inprinzip egal welche Funktion von welcher man subtrahiert?
Vielen Danke für die schnelle Lösung des Problems ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Sa 04.05.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Also ist es inprinzip egal welche Funktion von welcher man
> subtrahiert?
Nur wenn um das Integral die Betragsstriche stehen.
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> Trotzdem verstehe ich nicht, warum zur
> Flächeninhaltsberechnung
> [mm]\integral_{0}^{a}{g(x)-f(x) dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{a}{2ax-a^{2}-x^{2}}[/mm] gerechnet wird.
Hallo,
bei der Aufgabenstellung "berechne die Fläche zwischen dem Graphen von f und dem von g" ist es gut, wenn man sich erstmal eine Skizze macht.
Verläuft der Graph von f über dem gesamten Integrationsgebiet (hier: [0,a] bzw. für neg. a [a,0]) oberhalb von f, so rechnet man [mm] \integral [/mm] (f(x)-g(x))dx,
verläuft f unterhalb, dann rechnet man [mm] \integral [/mm] (g(x)-f(x))dx.
Oder man rechnet eins von beiden und setzt vorsorglich Betragsstriche - es können Flächeninhalte im Gegensatz zu Integralen nur positiv sein, berechnet also [mm] |\integral [/mm] (f(x)-g(x))dx| oder [mm] |\integral [/mm] (g(x)-f(x))dx|.
Aufpassen mußt Du, wenn sich f und g schneiden: dann muß man von Schnittstelle zu Schnittstelle integrieren, wenn nicht das Integral sondern der Flächeninhalt gefragt ist.
LG Angela
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