Integrale (best.) berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:25 Fr 19.01.2007 | | Autor: | xsara |
| Aufgabe | Man berechne die folgenden Integrale:
[mm] \integral_{-1}^{0}{\bruch{4x+4}{x^2+2x+2} dx},
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{x^3-2x}{3x^4-12x^2-15} dx}. [/mm] |
Hallo!
Mein Ansatz zum ersten Integral ist:
[mm] \integral_{-1}^{0}{\bruch{4x+4}{x^2+2x+2} dx}=[(4x+4)*arctan(x+1)]_{-1}^{0} [/mm] - [mm] \integral_{-1}^{0}{4*arctan(x+1) dx} [/mm]
=[0-4*arctan(-1)]-[4*arctan(0)-4*arctan(-1)]=4*arctan(0)=0.
Ist das denn so die partielle Integration richtig?
Zum zweiten Integral habe ich leider keine Idee.
Vielen Dank für eure Hilfe!
xsara
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:41 Fr 19.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo xsara!
Diese Aufgabe funktioniert ohne partielle Integration. Hier geht es vielmehr mit dem Verfahren der Substitution:
[mm] $\bruch{4x+4}{x^2+2x+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4*(x+1)}{x^2+2x+1+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4*(x+1)}{(x+1)^2+1} [/mm] \ = \ [mm] 2*\bruch{2*(x+1)}{(x+1)^2+1}$
[/mm]
Nun substituiere $z \ := \ x+1$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 So 21.01.2007 | | Autor: | xsara |
Wenn ich Loddars Tipp - vielen Dank dafür - weiter verfolge komme ich zu folgendem Ergebnis:
[mm] \integral_{-1}^{0}{2*\bruch{2z}{z^2+1} dx} =[2*log(z^2+1)]_{-1}^{0}=[2*log(x^2+2x+2)]_{-1}^{0}=2*log2-2*log1\approx0,60.
[/mm]
Ist das denn richtig?
Vielen Dank fürs Nachrechnen!
xsara
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 So 21.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo xsara!
Das stimmt als Endergebnis leider nicht. Du musst hier entweder die gegebenen $x_$-Integrationsgrenzen ebenfalls in die $z_$-Werte umrechnen oder das Integral zunächst unbestimmt lösen und anschließend wieder resubstituieren.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 So 21.01.2007 | | Autor: | xsara |
Hallo Loddar,
vielen Dank!
Was bedeutet das Umrechnen der Grenzen von den [mm]x_[/mm]-Integrationsgrenzen ebenfalls in die [mm]z_[/mm]-Werte konkret?
Wäre dann [mm] \integral_{0}^{1}{2*\bruch{2z}{z^2+1} dz}=...=2*log1-2*log2 [/mm] richtig?
Vielen Dank!
xsara
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 So 21.01.2007 | | Autor: | xsara |
Hallo Loddar!
Nun ist fast alles klar.
Warum hast du beim Logarithmus statt der Basis 10 die Basis [mm]e[/mm] gesetzt?
Hat das nicht Auswirkungen auf das Ergebnis?
LG
xsara
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 So 21.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo xsara!
Selbstverständlich hat die Basis einen Einfluss auf das Ergebnis.
Für die Integration von [mm] $\integral{\bruch{1}{x} \ dx}$ [/mm] ist aber immer der natürliche Logarithmus [mm] $\ln(x)+C$ [/mm] die zugehörige Stammfunktion!!
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:49 Fr 19.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo xsara!
Beim 2. Bruch musst Du zunächst den Nenner faktorisieren und anschließend eine  Partialbruchzerlegung vornehmen:
[mm] $\bruch{x^3-2x}{3x^4-12x^2-15} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^3-2x}{3*\left(x^4-4x^2-5\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^3-2x}{3*\left(x^2+1\right)*\left(x^2-5\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^3-2x}{3*\left(x^2+1\right)*\left(x-\wurzel{5}\right)*\left(x+\wurzel{5}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\left[\bruch{A*x+B}{x^2+1} +\bruch{C}{x-\wurzel{5}}+\bruch{D}{x+\wurzel{5}}\right] [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 So 21.01.2007 | | Autor: | xsara |
Vielen Dank für den Tipp!
Ich habe keine Probleme, wenn ich die Partialbruchzerlegung für 2 Faktoren durchrechne, so wie es im Link angegeben ist. Aber bei dieser Aufgabe komme ich einfach nicht weiter.
Ich muss doch den Hauptnenner von
[mm] \bruch{1}{3}*\left[\bruch{A*x+B}{x^2+1} +\bruch{C}{x-\wurzel{5}}+\bruch{D}{x+\wurzel{5}}\right] \
[/mm]
bilden und diesen dann mit den Koeffizienten des Zählers vergleichen. Beim Bilden des Hauptnenners komme ich allerdings neben Ausdrücken für [mm] x^3 [/mm] und x auch welche für [mm] x^2 [/mm] und ohne x. Was mache ich mit diesen Ausdrücken? Womit vergleiche ich die?
Vielleicht habe ich das auch nicht so ganz verstanden. Vielleicht hat hier noch jemand einen Tipp?
Vielen Dank für eure Hilfe!
xsara
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 So 21.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo xsara!
[mm] $x^3-2x [/mm] \ = \ [mm] 1*x^3+\red{0}*x^2+(-2)*x+\red{0}$
[/mm]
Nun klar(er)?
Gruß
Loddar
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Richtig!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Hier hast Du nun die Grenzen falschrum eingesetzt. Es muss heißen:
