Integrale berechnen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Brechne die folgenden Integrale mit der angegebenen Substitution.
a) [mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{a^{2}-x^{2}} dx}
[/mm]
Substitution: [mm] z=a^{2}-x^{2}
[/mm]
b) [mm] \wurzel{9-x^{2}}
[/mm]
Substitution:x=3sinz |
Hallo^^
Ich ich habe mal die a) berechnet,weiß aber nicht ob die so stimmt und bei der b) komm ich irgendwie nicht weiter.Könnt ihr mir helfen?
a) [mm] dx=-\bruch{1}{2x}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{z}}*-\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{z}} dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{-\bruch{1}{2}z^{-\bruch{1}{2}} dx}= -z^{\bruch{1}{2}}=-(a^{2}-x^{2})^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Ist das in Ordnung so?
b) [mm] dz=\bruch{1}{3cosz}
[/mm]
[mm] \wurzel{9-3sinz}*\bruch{1}{3cosz}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{ \wurzel{9-3sinz}}{3cosz} dx}
[/mm]
Ich weiß nihct wie ich davon die Stammfunktion bestimmen soll,ist das überhaupt richtig bis hier hin?
lg
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> Brechne die folgenden Integrale mit der angegebenen
> Substitution.
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> a) [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{a^{2}-x^{2}} dx}[/mm]
>
> Substitution: [mm]z=a^{2}-x^{2}[/mm]
>
> b) [mm]\wurzel{9-x^{2}}[/mm]
>
> Substitution:x=3sinz
> Hallo^^
>
> Ich ich habe mal die a) berechnet,weiß aber nicht ob die so
> stimmt und bei der b) komm ich irgendwie nicht weiter.Könnt
> ihr mir helfen?
>
> a) [mm]dx=-\bruch{1}{2x}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{z}}*-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{}^{}{-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{z}} dx}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{}^{}{-\bruch{1}{2}z^{-\bruch{1}{2}} dx}= -z^{\bruch{1}{2}}=-(a^{2}-x^{2})^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Ist das in Ordnung so?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da ist aber einiges durcheinandergeraten, oder? Und was ist denn bitteschön [mm]dx=-\bruch{1}{2x}[/mm] alleine?
Also von Anfang an ^^
Du willst substituieren: [mm]z=a^{2}-x^{2}[/mm]
Dann steht im Integral:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{z} dx}[/mm]
Und keine Wurzel oder dergleichen.
Das Problem ist jetzt aber, dass man da am Ende dx stehen hat und nach x integriert, das z also nicht aufleiten kann.
Daher nutzt man die Beziehung:
$ [mm] \bruch{dz}{dx}=z'=(a^2-x^2)'=-2x [/mm] $
Du leitest also den Ausdruck für z ab
Danach ergibt sich dx als:
$ [mm] dx=\bruch{dz}{-2x} [/mm] $
Jetzt kannst du auch dx im Integral ersetzen:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{z}\bruch{dz}{-2x} }=\integral_{}^{}{\bruch{1}{-2z}dz }[/mm]
Jetzt kannst du erst rangehen und das Integral lösen, also einfach nach z aufleiten, das ist ja nun wie 1/x. Du kannst auch den Vorfaktor -1/2 noch rausziehen.
Analog siehe dann b
>
> b) [mm]dz=\bruch{1}{3cosz}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{9-3sinz}*\bruch{1}{3cosz}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{ \wurzel{9-3sinz}}{3cosz} dx}[/mm]
>
> Ich weiß nihct wie ich davon die Stammfunktion bestimmen
> soll,ist das überhaupt richtig bis hier hin?
>
> lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Brechne die folgenden Integrale mit der angegebenen
> > Substitution.
> >
> > a) [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{a^{2}-x^{2}} dx}[/mm]
> >
> > Substitution: [mm]z=a^{2}-x^{2}[/mm]
> >
> > b) [mm]\wurzel{9-x^{2}}[/mm]
> >
> > Substitution:x=3sinz
> > Hallo^^
> >
> > Ich ich habe mal die a) berechnet,weiß aber nicht ob die so
> > stimmt und bei der b) komm ich irgendwie nicht weiter.Könnt
> > ihr mir helfen?
> >
> > a) [mm]dx=-\bruch{1}{2x}[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{1}{\wurzel{z}}*-\bruch{1}{2}[/mm]
> >
> > [mm]=\integral_{}^{}{-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{z}} dx}[/mm]
>
> >
> > [mm]=\integral_{}^{}{-\bruch{1}{2}z^{-\bruch{1}{2}} dx}= -z^{\bruch{1}{2}}=-(a^{2}-x^{2})^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> >
> > Ist das in Ordnung so?
>
> Da ist aber einiges durcheinandergeraten, oder? Und
> was ist denn bitteschön [mm]dx=-\bruch{1}{2x}[/mm] alleine?
>
> Also von Anfang an ^^
>
> Du willst substituieren: [mm]z=a^{2}-x^{2}[/mm]
>
> Dann steht im Integral:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{z} dx}[/mm]
>
> Und keine Wurzel oder dergleichen.
Uuups,hier muss ich mich entschuldigen,das war ein Tippfehler von mir,das Integral lautet nämlich [mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{\wurzel{a^{2}-x^{2}}} dx}
[/mm]
Wäre meine Lösung trotzdem falsch?
> Das Problem ist jetzt aber, dass man da am Ende dx stehen
> hat und nach x integriert, das z also nicht aufleiten
> kann.
> Daher nutzt man die Beziehung:
>
> [mm]\bruch{dz}{dx}=z'=(a^2-x^2)'=-2x[/mm]
>
> Du leitest also den Ausdruck für z ab
>
> Danach ergibt sich dx als:
>
> [mm]dx=\bruch{dz}{-2x}[/mm]
>
> Jetzt kannst du auch dx im Integral ersetzen:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{z}\bruch{dz}{-2x} }=\integral_{}^{}{\bruch{1}{-2z}dz }[/mm]
>
>
> Jetzt kannst du erst rangehen und das Integral lösen, also
> einfach nach z aufleiten, das ist ja nun wie 1/x. Du kannst
> auch den Vorfaktor -1/2 noch rausziehen.
> Analog siehe dann b
>
> >
> > b) [mm]dz=\bruch{1}{3cosz}[/mm]
> >
> > [mm]\wurzel{9-3sinz}*\bruch{1}{3cosz}[/mm]
> >
> > [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{ \wurzel{9-3sinz}}{3cosz} dx}[/mm]
> >
> > Ich weiß nihct wie ich davon die Stammfunktion bestimmen
> > soll,ist das überhaupt richtig bis hier hin?
> >
> > lg
>
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Hallo Mandy,
Benutze doch bitte die Zitierfunktion mit etwas mehr Bedacht, überflüssiges Zeugs kannst du löschen!
> Uuups,hier muss ich mich entschuldigen,das war ein
> Tippfehler von mir,das Integral lautet nämlich
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{\wurzel{a^{2}-x^{2}}} dx}[/mm]
>
>
> Wäre meine Lösung trotzdem falsch?
Nein, dann stimmt deine Lösung.
Du solltest aber "besser" nach der Substitution [mm] $z=a^2-x^2$ [/mm] schreiben $... \ [mm] dx=-\frac{1}{2x} [/mm] \ [mm] \red{dz}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Als Ergänzung zu b)
Statt [mm] $3\sin [/mm] z$ solltest du da [mm] (3\sin z)^2=9\sin^2z [/mm] zu stehen haben!
Außerdem solltest du dann beachten, dass [mm] 1-\sin^2z=\cos^2z [/mm] gilt.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 So 26.10.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hi!
>
> Als Ergänzung zu b)
> Statt [mm]3\sin z[/mm] solltest du da [mm](3\sin z)^2=9\sin^2z[/mm] zu
> stehen haben!
> Außerdem solltest du dann beachten, dass [mm]1-\sin^2z=\cos^2z[/mm]
> gilt.
>
Ok,danke für den Tipp,ich hab die b) jetzt nochmal gemacht.
b) [mm] \integral_{}^{}{\wurzel{9-x^{2}} dx}
[/mm]
x:=3sinz
[mm] (3sinz)^{2}=9 sin^{2}z
[/mm]
[mm] \bruch{dx}{dz}=9 cos^{2} [/mm] z
[mm] dz=\bruch{1}{9 cos^{2} z }
[/mm]
Kann ich dann so weitermachen:
[mm] \wurzel{9-9 sin^{2} z }*\bruch{1}{9-9 sin^{2} z} [/mm] ?
Ich weiß jetzt nicht so richtig,wie ich die Wurzel kürzen soll ?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 So 26.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
x=3sinz
da kommt doch nicht
$ [mm] \bruch{dx}{dz}=9 cos^{2} [/mm] $
raus.
2. kannst du nicht [mm] \wurzel{9-9sin^2} [/mm] ziehen?
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 So 26.10.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo
> x=3sinz
> da kommt doch nicht
> [mm]\bruch{dx}{dz}=9 cos^{2}[/mm]
> raus.
Stimmt,da kommt [mm] \bruch{dx}{dz}=3cosz [/mm] raus.
Soll ich dann etwa [mm] \bruch{dx^{2}}{dz^{2}}=9 cos^{2} [/mm] z schreiben?
> 2. kannst du nicht [mm]\wurzel{9-9sin^2}[/mm] ziehen?
Klar, dann hab ich da doch stehen [mm] \bruch{3-3sinz}{9-9 sin^{2} z} [/mm] ?
Hier kann man jetzt aber nicht mehr kürzen,weils doch ne Summe ist oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 So 26.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Stimmt,da kommt [mm]\bruch{dx}{dz}=3cosz[/mm] raus.
> Soll ich dann etwa [mm]\bruch{dx^{2}}{dz^{2}}=9 cos^{2}[/mm] z
> schreiben?
Warum solltest du das? du willst doch nach z integrieren, und deshalb dx durch cosz*dz ersetzen!
> > 2. kannst du nicht [mm]\wurzel{9-9sin^2}[/mm] ziehen?
>
> Klar, dann hab ich da doch stehen [mm]\bruch{3-3sinz}{9-9 sin^{2} z}[/mm]
das ist ziemlich schlimm! d rechnest [mm] \wurzel{a^2+b^2}
[/mm]
=a+b oder in Zahlen [mm] :\wurzel{25}+=|wurzel [/mm] {16+9}=4+3???
9-9sin^2z=9*(1-sin^2z) und wegen sin^2z+cos^2z=1 ist das ?
Also machs noch mal ordentlich! das x=3*sinz ist gerade deshalb so schoen, weil man damit die Wurzel wegkriegt!
Gruss leduart
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