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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 So 29.06.2008 | | Autor: | sie-nuss |
| Aufgabe | Berechne mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes und der Cauchyschen Integralformel die Integrale:
[mm] \integral_{\gamma_{1,\bruch{3}{2}}}^{ }{\bruch{w^{7}+1}{w^{2}(w^{4}+1)} dw}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma_{-i,1}}^{ }{\bruch{e^{w}}{w^{2}+9}dw}
[/mm]
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Hallo zusammen,
Ich krieg das irgendwie nicht hin. Ich weiß auch gar nicht, wie ich da z.B. die Formel für Ableitungen (ich denk mal die brauchen wir) benutzen soll, denn der Nenner in beiden Aufgaben ist ja nicht der Form [mm] (w-z)^{n} [/mm] so wie's in der Formel ist... Oder brauch ich die hier gar nicht?
Aber in der Integralformel für Kreisscheiben braucht man einen Nenner der Form (w-z) also ginge das doch auch nicht.
Ich würd mich sehr über Hilfe freuen!
Liebe Grüße!
sie-nuss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:42 Mo 30.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechne mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes und der
> Cauchyschen Integralformel die Integrale:
>
> [mm]\integral_{\gamma_{1,\bruch{3}{2}}}^{ }{\bruch{w^{7}+1}{w^{2}(w^{4}+1)} dw}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma_{-i,1}}^{ }{\bruch{e^{w}}{w^{2}+9}dw}[/mm]
>
>
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> Hallo zusammen,
>
> Ich krieg das irgendwie nicht hin. Ich weiß auch gar nicht,
> wie ich da z.B. die Formel für Ableitungen (ich denk mal
> die brauchen wir) benutzen soll, denn der Nenner in beiden
> Aufgaben ist ja nicht der Form [mm](w-z)^{n}[/mm] so wie's in der
> Formel ist... Oder brauch ich die hier gar nicht?
>
> Aber in der Integralformel für Kreisscheiben braucht man
> einen Nenner der Form (w-z) also ginge das doch auch nicht.
Du musst dich von der Vorstellung verabschieden, dass der Zähler des Bruches gerade die Funktion f(z) aus der Cauchyschen Integralformel ist. Die Integralformel gilt für jede in dem entsprechenden Gebiet holomorphe Funktion f(z), das kann auch selber ein Bruch sein.
Also: schau dir die Integrationswege an und welche der Nennernullstellen im Innern liegen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:32 Mo 30.06.2008 | | Autor: | sie-nuss |
Hallo Rainer,
also im ersten Integral liegt die 0 im inneren des Kreises, im zweiten gibt's gar keine nullstellen... oder? weil [mm] w^{2} [/mm] wird ja nicht -9
Ich sehe aber leider immernoch nicht wie ich die Integralformel jetzt anwende. Sie lautet ja [mm] f(z)=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}^{ }{\bruch{f(w)}{w-z} dw}
[/mm]
Also die Funktion f(w) in der Formel ist jetzt alles was in der Aufgabe hinter dem Integral steht?
Und was ist mit (w-z) ?
Liebe Grüße und Danke für die Hilfe!
sie-nuss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:20 Mo 30.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> also im ersten Integral liegt die 0 im inneren des Kreises,
Was ist mit den Nullstellen von [mm] $w^4+1$ [/mm] ?
> im zweiten gibt's gar keine nullstellen... oder? weil [mm]w^{2}[/mm]
> wird ja nicht -9
Wir sind hier doch im Komplexen, also sind [mm] $\pm3i$ [/mm] Nullstellen.
> Ich sehe aber leider immernoch nicht wie ich die
> Integralformel jetzt anwende. Sie lautet ja
> [mm]f(z)=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}^{ }{\bruch{f(w)}{w-z} dw}[/mm]
>
> Also die Funktion f(w) in der Formel ist jetzt alles was in
> der Aufgabe hinter dem Integral steht?
Nein, du musst den Integranden, genauer gesagt den Nenner geschickt aufteilen, damit du diese Form hast. Deswegen die Frage, welche der Nennernullstellen innerhalb des Kreises liegen. Diejenigen Faktoren im Nenner, die dort nicht 0 werden, kannst du zu f(w) hinzunehmen.
Mach das erst einmal mit dem zweiten Integral, das erste ist komplizierter.
Viele Grüße
Rainer
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