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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 21:49 Di 20.05.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
| Aufgabe | Vereichfache erst, berechne dann!
a) [mm] \integral_{-1}^{2}{(x^{2}+4x+2)dx}+\integral_{2}^{3}{(x^{2}+4x+2)dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{-1}^{2}{(2-\bruch{1}{2}x^{2})dx}-\integral_{1}^{2}{(2-\bruch{1}{2}x^{2})dx}
[/mm]
c) [mm] \integral_{-1}^{1}{(x^{2}-2x)dx}-\integral_{3}^{2}{(x^{2}-2x)dx}+\integral_{1}^{2}{(x^{2}-2x)dx}
[/mm]
d) [mm] 2\cdot\integral_{-1}^{3}{(x^{2}-3x+6)dx}+3\cdot\integral_{-1}^{3}{(x^{2}+2x-4)dx}
[/mm]
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Quelle: Elemente der Mathematik
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Hallo Tyskie!
Bei dieser Aufgabe habe ich einige Schwierigkeiten. Ich habe mir zwar die Regeln zur Vereinfachung von Integralen angesehen, trotzdem bin ich bei einigen Aufgaben einfach nicht weitergekommen sodass ich dir keine Vorschläge präsentieren kann.
Meine Überlegungen sind:
a)[mm]\integral_{-1}^{3}{(x^2+4x+2)dx}[/mm]
Ich habe eine relevante Nullstelle des Integranden ausfindig gemacht:
-0,585
So habe ich wieder in Summanden aufgespalten:
[mm]\integral_{-0,585}^{3}{(x^2+4x+2)dx}+\integral_{-1}^{-0,585}{(x^2+4x+2)dx}[/mm]
Stammfunktion: [mm]\bruch{x^3}{3}+2x^2+2x[/mm]
So habe ich |33+0,55228|+|-0,55228+0,3| erhalten und als Wert 33,7.
Stimmt es so?
Bei b) habe ich eine Nullstelle bei x=2 ausfindig gemacht, die aber nicht wichtig ist, da die obere Integrationsgrenze ja schon 2 ist. Oder?
Wie kann ich diese Integrale zusammenfassen? Ein Bereich wird so ja von beiden Integralen erfasst und zwar von 1 bis 2. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
c) Ich habe zusammengefasst:
[mm]\integral_{-1}^{3}{(x^2-2x)dx}[/mm]
Nullstellen: [mm] x_1 [/mm] =0 [mm] x_2=2
[/mm]
Stammfunktion: [mm]\bruch{x^3}{3}-x^2[/mm]
Aufspalten:[mm]\integral_{2}^{3}{(x^2-2x)dx}+\integral_{0}^{2}{(x^2-2x)dx}+\integral_{-1}^{0}{(x^2-2x)dx}[/mm]
Wert: |0+1,3|+|-1,3-0|+|0+1,3|=3,9 periodisch
Bei d) habe ich dasselbe Problem wie bei b). Hier ist das Integrationsintervall überhaupt gleich.
Wäre dir sehr dankbar wenn du mir hier einen kleinen Tipp geben könntest!
Vielen Dank im Voraus!
Gruß
Angelika
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Hi Angelika,
> Hallo Tyskie!
>
> Bei dieser Aufgabe habe ich einige Schwierigkeiten. Ich
> habe mir zwar die Regeln zur Vereinfachung von Integralen
> angesehen, trotzdem bin ich bei einigen Aufgaben einfach
> nicht weitergekommen sodass ich dir keine Vorschläge
> präsentieren kann.
>
Na dann schauen wir mal:
> Meine Überlegungen sind:
>
> a)[mm]\integral_{-1}^{3}{(x^2+4x+2)dx}[/mm]
>
> Ich habe eine relevante Nullstelle des Integranden
> ausfindig gemacht:
>
> -0,585
>
in Ordnung
> So habe ich wieder in Summanden aufgespalten:
>
> [mm]\integral_{-0,585}^{3}{(x^2+4x+2)dx}+\integral_{-1}^{-0,585}{(x^2+4x+2)dx}[/mm]
>
> Stammfunktion: [mm]\bruch{x^3}{3}+2x^2+2x[/mm]
>
ja ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> So habe ich |33+0,55228|+|-0,55228+0,3| erhalten und als
> Wert 33,7.
>
> Stimmt es so?
>
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Bei b) habe ich eine Nullstelle bei x=2 ausfindig gemacht,
> die aber nicht wichtig ist, da die obere Integrationsgrenze
> ja schon 2 ist. Oder?
>
Ja also die Funktion bestitzt zwei Nullstellen [mm] x_{1}=-2 [/mm] und [mm] x_{2}=2
[/mm]
Zu berechnen ist die Fläche im Intervall [-1;2] damit fällt die erste Nullstelle heraus. Wenn du weisst wie die Funktion ungefähr aussieht dann kannst du direkt [mm] \integral_{-1}^{2}{2-\bruch{1}{2}x^{2} dx} [/mm] rechnen. Die Fläche im Intervall [-1;2] befindet sich nämlich oberhalb der x-Achse.
> Wie kann ich diese Integrale zusammenfassen? Ein Bereich
> wird so ja von beiden Integralen erfasst und zwar von 1 bis
> 2.
>
Zusammenfassen so wie ich oben geschrieben habe
> c) Ich habe zusammengefasst:
>
> [mm]\integral_{-1}^{3}{(x^2-2x)dx}[/mm]
>
> Nullstellen: [mm]x_1[/mm] =0 [mm]x_2=2[/mm]
>
> Stammfunktion: [mm]\bruch{x^3}{3}-x^2[/mm]
>
> Aufspalten:[mm]\integral_{2}^{3}{(x^2-2x)dx}+\integral_{0}^{2}{(x^2-2x)dx}+\integral_{-1}^{0}{(x^2-2x)dx}[/mm]
>
> Wert: |0+1,3|+|-1,3-0|+|0+1,3|=3,9 periodisch
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") das kannst du viel genauer angeben. Laut meiner Rechnung ist [mm] \\A=\bruch{4}{3}+\bruch{4}{3}+\bruch{4}{3}=4.
[/mm]
> Bei d) habe ich dasselbe Problem wie bei b). Hier ist das
> Integrationsintervall überhaupt gleich.
> Wäre dir sehr dankbar wenn du mir hier einen kleinen Tipp
> geben könntest!
>
Hier läuft es im Prinzip nicht anders. Multipliziere erst einmal die Zahl ins Integral rein und schau was pasiert. Versuch es erst mal auch wenn es nicht das raus kommt was rauskommen soll. Einfach mal probieren.
> Vielen Dank im Voraus!
>
> Gruß
>
> Angelika
>
>
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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Hallo Tyskie!
Vielen Dank für deine ausführliche Korrektur und die hilfreichen Erklärungen!
b)
Da die Fläche im Intervall 1-2 schon vom ersten Integral(Intervall -1 bis 2) erfasst wird kann ich einfach die Fläche von diesem berechnen.
St.= 2x-[mm]\bruch{x^3}{6}[/mm]
Wert = 4,5
d)
Hier entstehen nach dem ausmultiplizieren doch 2 verschiedene Funktionen
die integriert werden sollen, oder?
Ich meine:
[mm]\integral_{-1}^{3}{(2x^2-6x+12)dx}+\integral_{-1}^{3}{3x^2+6x-12)dx}[/mm]
Du hast gesagt ich soll einfach mal probieren, also habe ich beide Funktionen getrennt integriert, und ihre Fläche addiert.
St.(1)= [mm]\bruch{2x^3}{3}-3x^2+12x[/mm]
relevante Nullstelle=1,5
[mm]\integral_{1,5}^{3}{(2x^2-6x+12)dx}+\integral_{-1}^{1,5}{(2x^2-6x+12)dx}[/mm]
Wert= 42,6 periodisch
St.(2)=[mm]x^3+3x^2-12x[/mm]
relevante Nullstelle=1,236
[mm]\integral_{1,236}^{3}{3x^2+6x-12)dx}+\integral_{-1}^{1,236}{3x^2+6x-12)dx}[/mm]
Wert=48,7212
Wert insgesamt:91,387
Hoffe meine Idee ist nicht absolut abwegig?
(bei c hätte ich Bruchschreibweise verwenden sollen!)
Gruß
Angelika
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Hi Angelika,
> Hallo Tyskie!
>
> Vielen Dank für deine ausführliche Korrektur und die
> hilfreichen Erklärungen!
>
gerne
> b)
>
> Da die Fläche im Intervall 1-2 schon vom ersten
> Integral(Intervall -1 bis 2) erfasst wird kann ich einfach
> die Fläche von diesem berechnen.
>
> St.= 2x-[mm]\bruch{x^3}{6}[/mm]
>
> Wert = 4,5
>
Genau soist es
> d)
>
> Hier entstehen nach dem ausmultiplizieren doch 2
> verschiedene Funktionen
> die integriert werden sollen, oder?
>
> Ich meine:
>
> [mm]\integral_{-1}^{3}{(2x^2-6x+12)dx}+\integral_{-1}^{3}{3x^2+6x-12)dx}[/mm]
>
> Du hast gesagt ich soll einfach mal probieren, also habe
> ich beide Funktionen getrennt integriert, und ihre Fläche
> addiert.
>
> St.(1)= [mm]\bruch{2x^3}{3}-3x^2+12x[/mm]
>
> relevante Nullstelle=1,5
>
> [mm]\integral_{1,5}^{3}{(2x^2-6x+12)dx}+\integral_{-1}^{1,5}{(2x^2-6x+12)dx}[/mm]
>
> Wert= 42,6 periodisch
>
Ja genau, aber das kannst du wieder genauer angeben.
> St.(2)=[mm]x^3+3x^2-12x[/mm]
>
> relevante Nullstelle=1,236
>
> [mm]\integral_{1,236}^{3}{3x^2+6x-12)dx}+\integral_{-1}^{1,236}{3x^2+6x-12)dx}[/mm]
>
>
> Wert=48,7212
>
> Wert insgesamt:91,387
>
> Hoffe meine Idee ist nicht absolut abwegig?
Die Idee ist doch gut. Sie führt zum richtigen Ergebnis
> (bei c hätte ich Bruchschreibweise verwenden sollen!)
>
>
> Gruß
>
> Angelika
>
Gruß
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folgende Integrale sollten vor der Berechnung vereinfacht werden:
a) [mm] \integral_{-1}^{2}{(x^2+4x+2) dx} [/mm] + [mm] \integral_{2}^{3}{(x^2+4x+2) dx}
[/mm]
da die beiden Intervalle direkt nebeneinander waren, der Oberwert des ersten Intervalls war gleich dem unteren des zweiten, konnte man die Intervalle auch in das neue Intervall [-1;3] zusammenfassen, Die Berechnung erfolgte dann mit:
[mm] \integral_{-1}^{3}{(x^2+4x+2) dx}=[\bruch{x^3}{3}+2x^2+2x]^{3}_{-1}=\bruch{100}{3} [/mm] FE
später bekam ich einen Schrecken, die NST der Funktion außer Acht gelassen zu haben und rechnete diese erstmal aus.
Für f(x)=0 erhielt ich [mm] x_0_1=-\wurzel{2}-2 [/mm] und für [mm] x_0_2=\wurzel{2}-2
[/mm]
Da lediglich die 2.NST im Intervall [-1;3] lag, musste ich das Intervall wie folgt teilen: [mm] I_1 [-1;\wurzel{2}-2] [/mm] und [mm] I_2 [\wurzel{2}-2;3] [/mm] die Berechnung erfolgt nun so:
[mm] \integral_{-1}^{3}{(x^2+4x+2) dx}=|\integral_{-1}^{\wurzel{2}-2}{(x^2+4x+2) dx}|+\integral_{\wurzel{2}-2}^{3}{(x^2+4x+2) dx}=
[/mm]
Wichtig waren hier die Betragstriche beim ersten Integral (wegen des negativen Wertes, links von der NST)
Ich bekam heraus:
[mm] |\bruch{5}{3}-\bruch{4\wurzel{2}}{3}| [/mm] + [mm] \bruch{4\wurzel{2}}{3}+\bruch{95}{3}= \bruch{8\wurzel{2}}{3}+30 [/mm] FE
übrigens: für Funktionen mit W: [mm] \ge [/mm] 0 wie [mm] f(x)=x^2 [/mm] wäre mein erster Ansatz richtig gewesen...mal seh´n, was die Aufgaben b) bis d) beinhalten
(die Aufgaben b) bis d) folgen aus Zeitgründen heute Abend...)
Schorsch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Do 05.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schorsch!
Wie auch schon in der anderen Aufgabe ... wenn nicht explizit nach der Fläche zwischen Kurve und x-Achse gefragt ist, brauchst Du die Nullstellen sowie irgendwelche Beträge nicht berücksichtigen.
Dein Wert mit [mm] $\bruch{100}{3}$ [/mm] ist korrekt (allerdings ohne den Zusatz "FE").
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | Es wurde nach dem Integral gefragt. Ich bekam ja zunächst [mm] \bruch{100}{3} [/mm] heraus.
Loddar sagt nun, dass dies richtig sei, da nicht nach der Fläche gefragt wurde. |
In meiner 2.Berechnung berücksichtigte ich die NST und bekam als Lösung die Fläche [mm] \bruch{8\wurzel{2}}{3}+30 [/mm] heraus.
Von den Werten her, wäre diese Fläche doch nicht gleich [mm] \bruch{100}{3}, [/mm] oder ?
Schorsch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Fr 06.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schorsch!
> In meiner 2.Berechnung berücksichtigte ich die NST und
> bekam als Lösung die Fläche [mm]\bruch{8\wurzel{2}}{3}+30[/mm] heraus.
> Von den Werten her, wäre diese Fläche doch nicht gleich [mm]\bruch{100}{3},[/mm] oder ?
Natürlich nicht. Das müsste man allein an dem Term [mm] $\wurzel{2}$ [/mm] erkennen, dass man dies nicht in [mm] $\bruch{100}{3}$ [/mm] umformen kann.
Zudem gilt:
[mm] $$\bruch{100}{3} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 33.333$$
[mm] $$\bruch{8}{3}*\wurzel{2}+30 \approx [/mm] \ 33.771$$
Gruß
Loddar
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Ich bin im Moment leicht verunsichert, ob ich die von mir bereits bearbeiteten aber noch nicht veröffentlichten Aufgaben b) bis d) richtig gerechnet habe.
Vielleicht klammere ich mich zu sehr an den Flächen !
Ich mache mir zuerst immer eine Zeichnung des Graphen und benutze später bei Werten unter der x-Achse für die Integrale Betragsstriche.
Kann man diese Integrale ohne Berücksichtigung der NST zusammenfassen und dann berechnen ?
Schorsch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Fr 06.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schorsch!
> Kann man diese Integrale ohne Berücksichtigung der NST
> zusammenfassen und dann berechnen ?
Wenn es um die Berechnung der Integrale (und nicht um Flächenermittlung) geht: ja.
Gruß
Loddar
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OK dann mache ich mal weiter...
Schorsch
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Aufgabe 2 b)
[mm] \integral_{-1}^{2}{(2-\bruch{1}{2}x^2) dx}-\integral_{1}^{2}{(2-\bruch{1}{2}x^2) dx}=
[/mm]
da beide Integrale auch das Intervall [1;2] beinhalten kann man so weitermachen:
[mm] \integral_{-1}^{2-2+1}{(2-\bruch{1}{2}x^2) dx}=\integral_{-1}^{1}{(2-\bruch{1}{2}x^2) dx}=
[/mm]
[mm] [2x-\bruch{x^3}{6}]^{1}_{-1}=\bruch{11}{3}
[/mm]
c)
[mm] \integral_{-1}^{1}{(x^2-2x) dx}-\integral_{3}^{2}{(x^2-2x) dx}+\integral_{1}^{2}{(x^2-2x) dx}=
[/mm]
Es sind verschiedene Intervalle einer Funktion f zu addieren bzw zu subtrahieren. Ich schreibe das mal mit den Stammfunktionen und sehe dann, was wegfällt (wie in b)):
F(1)-F(-1)-F(2)+F(3)+F(2)-F(1) wie man sieht, heben sich F(1) und F(2) auf, übrig bleibt also: F(3)-F(-1) also
[mm] \integral_{-1}^{3}{(x^2-2x) dx}=[\bruch{x^3}{3}-x^2]^{3}_{-1}=\bruch{4}{3}
[/mm]
d)
[mm] 2\integral_{-1}^{3}{(x^2-3x+6) dx}+3\integral_{-1}^{3}{(x^2+2x-4) dx}=
[/mm]
Es sind verschiedene vielfache Werte zweier Funktionen zusammen in einem Intervall zu integrieren.
Man bringt die Faktoren in die Funktionen und addiert die Funktion zu einer neuen Funktion (Ähnlich wie bei einer Differenzfunktion ! Ich bin schon wieder bei den Flächen...)
Anschließend muss man nur noch ein Integral ausrechen:
[mm] 2(f(x)=2x^2-6x+12 [/mm] und [mm] 3g(x)=3x^2+6x-12
[/mm]
[mm] 2(f(x)+3g(x)=2x^2-6x+12+3x^2+6x-12=5x^2 [/mm] also lautet das Integral
[mm] \integral_{-1}^{3}{5x^2 dx}=[\bruch{5}{3}x^3]^{3}_{-1}=46\bruch{2}{3}
[/mm]
Aufgabe 3 und 4 folgen später
Schorsch
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