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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 So 17.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Ich möchte folgende Aufgaben lösen:
Bestimmen Sie die Integrale folgender Funktionen mittels Substitution oder partieller Integration:
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{2*cosh(t)}{3+cosh(t)^2} dt}
[/mm]
Lösung:
[mm] arctan*\bruch{sinh t}{2} [/mm] + C
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{arcsin(x)}{\wurzel{1+x}} dx}
[/mm]
Lösung:
[mm] 2*\wurzel{1+x}*arcsin(x)+4*\wurzel{1-x}+C
[/mm]
Vielleicht könnte jmd. mal bitte den Lösungsweg mit den notwendigen Zwischenschritten aufschreiben.
Das wäre eine große Hilfe!
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 So 17.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maiko!
> [mm]\integral_{}^{} {\bruch{arcsin(x)}{\wurzel{1+x}} dx}[/mm]
>
> Lösung:
> [mm]2*\wurzel{1+x}*arcsin(x)+4*\wurzel{1-x}+C[/mm]
Hier kommst Du mit partieller Integration (= Produktintegration) zum Ziel:
Wähle: $u' \ := \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+x}} [/mm] \ = \ [mm] (1+x)^{-1/2}$
[/mm]
sowie: $v \ := \ [mm] \arcsin(x)$
[/mm]
In dem 2. Integral entsteht dann ein Wurzelausdruck, der zunächst mit 3. binomischer Formel aufgelöst und anschließend gekürzt werden kann.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:03 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Danke erstmal für den Tip.
Ich hatte das auch schon durchprobiert, bin aber nicht zum Ziel gelangt. Auch jetzt klappt das noch nicht.
Also, ich habe:
u'= [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+x}}
[/mm]
u = [mm] 2*\wurzel{x+1}
[/mm]
v = arcsin(x)
v'= [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}
[/mm]
[mm] 2*\wurzel{x+1}*arcsin(x)+\integral_{}^{} {\bruch{2*\wurzel{x+1}}{{\wurzel{1-x^2}}} dx}
[/mm]
Was muss ich nun machen? Das erscheint mir noch nicht ganz nachvollziehbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo ...
[mm]\integral_{}^{} {\bruch{2*\wurzel{x+1}}{{\wurzel{1-x^2}}} \ dx} \ = \ 2 * \integral_{}^{} {\wurzel{\bruch{x+1}{1-x^2}} \ dx} \ = \ 2 * \integral_{}^{} {\wurzel{\bruch{x+1}{(1+x)*(1-x)}} \ dx} \ = \ ...[/mm]
Der weitere Weg nun klar?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:44 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Danke. Ich bin zum Ziel gelangt.
Hatte paar Schusselfehler gemacht und nach deiner Hilfe nochmal nachgerechnet.
Hat geklappt 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Loddar |
N'Abend Maiko!
> Bestimmen Sie die Integrale folgender Funktionen mittels
> Substitution oder partieller Integration:
Da wir beim 2. Integral die partielle Integration angewandt haben, werden wir diesmal mit der Substitution arbeiten ...
> [mm]\integral_{}^{} {\bruch{2*\cosh(t)}{3+\cosh(t)^2} dt}[/mm]
>
> Lösung: [mm]\arctan\left(\bruch{\sinh t}{2}\right)[/mm] + C
Es gilt ja: [mm] $\cosh^2(t) [/mm] - [mm] \sinh^2(t) [/mm] \ = \ 1$ [mm] $\gdw$ $\cosh^2(t) [/mm] \ = \ 1 + [mm] \sinh^2(t)$
[/mm]
Damit wird:
[mm]\integral_{}^{} {\bruch{2*\cosh(t)}{3+\cosh(t)^2} dt}[/mm]
[mm]= \ \integral_{}^{} {\bruch{2*\cosh(t)}{3+1+\sinh(t)^2} dt}[/mm]
[mm]= \ \integral_{}^{} {\bruch{2*\cosh(t)}{4+\sinh(t)^2} dt}[/mm]
[mm]= \ \integral_{}^{} {\bruch{\bruch{1}{4}*2*\cosh(t)}{1+\bruch{\sinh(t)^2}{4}} dt}[/mm]
[mm]= \ \integral_{}^{} {\bruch{\bruch{1}{2}*\cosh(t)}{1+\left(\bruch{\sinh(t)}{2}\right)^2} dt}[/mm]
Nun Substitution: $z \ := \ [mm] \bruch{\sinh(t)}{2}$
[/mm]
Kommst Du nun alleine weiter?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:08 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Danke für diesen Tip. Ich bin nun zum Ergebnis gelangt.
Mich würde mal interessieren, wie du gesehen hast, was zu machen war? Hast du eine ähnliche Aufgabe schon mal gelöst oder warum hast du zielgerichtet deine Umformungen durchgeführt?
Woher wusstest du, dass du so zum richtigen Ergebnis gelangst??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Loddar |
> Danke für diesen Tip. Ich bin nun zum Ergebnis gelangt.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Fein!
> Mich würde mal interessieren, wie du gesehen hast, was zu
> machen war? Hast du eine ähnliche Aufgabe schon mal gelöst
> oder warum hast du zielgerichtet deine Umformungen
> durchgeführt?
> Woher wusstest du, dass du so zum richtigen Ergebnis
> gelangst??
Ich muß gestehen, hier habe ich mich durch das bekannte Ergebnis leiten lassen: ich habe die vorgegebene Stammfunktion abgeleitet und dann überlegt, was mich auf meine Ursprungsfunktion bringt ...
Die Beziehung [mm] $\cosh^2(x) [/mm] - [mm] \sinh^2(x) [/mm] \ = \ 1$ sollte man dabei schon immer halbwegs parat haben.
Wahrscheinlich etwas unbefriedigend diese Auskunft ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Zu guter letzt hätt ich noch folgende Funktion, die ebenfalls zu integrieren wäre:
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{cos(x)*sin^2(x)+cos^3(x)+sin(x)}{cos(x)*sin(2x)} dx}
[/mm]
Lösung:
1/2*(ln|tan(x)|+tan(x)+C
Vielleicht könntest du diese Frage noch beantworten??
Ich habs hier mit Substitutionen versucht. Wahrscheinlich alle möglichen Varianten durchgerechnet, aber leider hat sich nicht alles, was nicht da sein durfte, rausgekürzt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo ...
> [mm]\integral_{}^{} {\bruch{cos(x)*sin^2(x)+cos^3(x)+sin(x)}{cos(x)*sin(2x)} dx}[/mm]
Zunächst stört mich der Ausdruck [mm] $\sin(2x)$ [/mm] im Nenner, da dieser als einziger mit dem Argument "$2x$" auftritt:
[mm] $\sin(2x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\sin(x)*\cos(x)$
[/mm]
Dies' setze ich in den Bruch ein und zerlege ihn in drei Einzelbrüche. Diese vereinfachen sich jeweils stark durch Kürzen, so daß ich integrieren kann.
Die Stammfunktion in der dargestellten Form erhält man dann (nach dem Integrieren!) durch weitere Umformungen ( Logarithmusgesetze).
Also keine Substitution und keine Produktintegration erforderlich hier ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:57 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Haha.
Danke für deine Tipps. Absolut nachvollziehbar.
Bin aufs Ergebnis gekommen. Vielen Dank.
Schöner Abendausklang 
Bis zum nächsten Mal.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Na, dann bin ich ja beruhigt ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
