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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Do 14.04.2005 | | Autor: | Samoth |
Hallo,
ich habe Probleme folgendes zu zeigen:
Es sei [mm]p[/mm] ein Polynom vom Grad [mm]m[/mm].
[mm] \integral_{}^{} {p(x) e^{ \alpha x} dx} = \bruch{e^{ \alpha x}}{\alpha}} \summe_{k=0}^{m} (-1)^k \bruch{p^{(k)}(x)}{ \alpha^{k}} + c [/mm]
Durch "schafes Gucken" kann man das ja schon erkennen, wenn man den Integranten partiell integriert.....
Aber ich komme auf keinen richtigen Ansatz, das auch richtig zu zeigen.
Ich wäre dankbar wenn mir jemand
vielleicht einen Tip zum Ansatz geben kann.
Grüße,
Samoth
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Do 14.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Samoth,
würde es in diesem Fall nicht einfach reichen, wenn du nur die Ableitung der angegebenen Stammfunktion bildest und zeigst, dass sie mit der Integrandenfunktion übereinstimmt?
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Do 14.04.2005 | | Autor: | Samoth |
Hallo,
erstmal danke ich euch Beiden für die schnelle beantwortung... :)
ich habe es mit dem Vorschlag von Max versucht.......
es lässt sich auch schon die Teleskopsumme erkennen, nur stimmt bei mir was noch nicht. Die Ableitung von:
[mm]
\bruch{e^{ \alpha x}}{\alpha}} \summe_{k=0}^{m} (-1)^k \bruch{p^{(k)}(x)}{ \alpha^{k}} + c [/mm]
ist [mm] \bruch{e^{ \alpha x}}{\alpha}} \summe_{k=1}^{m} (-1)^k \bruch{p^{(k-1)}(x)}{ \alpha^{k}} + e^{ \alpha x} \summe_{k=0}^{m} (-1)^k \bruch{p^{(k)}(x)}{ \alpha^{k}} [/mm]
nur stört das [mm] \alpha [/mm] noch....ich sehe bloß gerade nicht wo genau der Fehler liegt.
könnt ihr mir hier nochmal unter die Arme greifen?
Gruß,
Samoth
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Do 14.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Nein, da hast du dich leider völlig vertan.
Ich rechne es dir mal vor:
Die Ableitung der vermeintlichen Stammfunktion ist nach der Produktregel gerade (beachte, dass $p(x)$ ein Polynom $m$-ten Grades ist und daher die $(m+1)$-te Ableitung verschwindet):
[mm] $\frac{e^{\alpha x}}{\alpha} \sum\limits_{k=0}^{m-1} (-1)^k \cdot \frac{p^{(k+1}(x)}{\alpha^k} [/mm] + [mm] e^{\alpha x} \sum\limits_{k=0}^m (-1)^k \cdot \frac{p^{(k)}(x)}{\alpha^k}$
[/mm]
$= [mm] e^{\alpha x} \cdot \left[ \sum\limits_{k=0}^{m-1} (-1)^k \cdot \frac{p^{(k+1)}(x)}{\alpha^{k+1}} + \sum\limits_{k=0}^m (-1)^k \cdot \frac{p^{(k)}(x)}{\alpha^k} \right]$
[/mm]
$= [mm] e^{\alpha x} \cdot \left[ \sum\limits_{k=1}^{m} (-1)^{k-1} \cdot \frac{p^{(k)}(x)}{\alpha^{k}} + \sum\limits_{k=0}^m (-1)^k \cdot \frac{p^{(k)}(x)}{\alpha^k} \right]$
[/mm]
$= [mm] e^{\alpha x} \cdot \left[ \sum\limits_{k=1}^{m} (-1)^{k-1} \cdot \left( \frac{p^{(k)}(x)}{\alpha^{k}} -\frac{p^{(k)}(x)}{\alpha^k}\right) + (-1)^0 \cdot \frac{p^{(0)}(x)}{\alpha^0} \right]$
[/mm]
$= [mm] e^{\alpha x} \cdot p^{(0)}(x)$
[/mm]
[mm] $=e^{\alpha x} \cdot [/mm] p(x)$.
Bitte melde dich, wenn du Fragen dazu hast. 
Viele Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Do 14.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Samoth,
ich habe es jetzt nicht ausprobiert ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") , ist nur so 'ne Idee ...
Wie wäre es denn mit der allseits beliebten vollständigen Induktion?
Induktionsbeginn für [mm] $\integral_{}^{} {a_0 * e^{\alpha*x} \ dx}$
[/mm]
Induktionsschritt dann mittels partieller Integration.
Wie gesagt: nur 'ne spontane Idee!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Do 14.04.2005 | | Autor: | Max |
Tue es nicht. 
Ich habe meinen Ansatz ausprobiert es führt direkt zu einer Teleskopsumme und damit zum Ziel. Ich denke vollständige Induktioin ist etwas übertrieben...
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Do 14.04.2005 | | Autor: | Loddar |
War ja nur 'ne Idee (wie bereits erwähnt), aber immerhin eine Alternative (Man beachte auch das Fragezeichen in meiner Überschrift!) ...
Habe aber schon geahnt, daß hier mit "Kanonen auf Spatzen geschossen" würde.
Gruß
Loddar
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