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Forum "Integralrechnung" - Integrale
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Integrale: Integrale Flächen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:26 Di 02.06.2009
Autor: andi7987

Aufgabe
Bestimme die Fläche, die rechts von x = 3 und zwischen der Kurve y = [mm] \bruch{1}{x^{2}-1} [/mm] und der x-Achse liegt!

Die Integrale habens mir angetan! :-(

Also bei meiner Zeichnung, komm ich irgendwie auf einer Kurve links und rechts und unten ein Bogen! (hoffe ich konnte das einigermassen erklären)

So dann gehe ich folgendermassen her:

[mm] \integral_{3}^{\infty}{\bruch{1}{x^{2}-1} dx} [/mm]

Dann mache ich Partialbruchzerlegung!

[mm] \bruch{A}{x-1} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x-1} [/mm]

1 = A*(x+1) + B*(x-1)

A = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
B = [mm] \bruch{-1}{2} [/mm]

Dann gehts weiter

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{\bruch{1}{2}}{x-1}} [/mm] +
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{\bruch{-1}{2}}{x-1}} [/mm] dx

[mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln |x-1| - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln |x+1|

So und hier komme ich dann nicht weiter! bzw. wie ich noch was umforme und weiterrchen muss! ??

Bitte um Hilfe!

        
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Integrale: zusammenfassen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 Di 02.06.2009
Autor: Loddar

Hallo andi!


> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{\bruch{1}{2}}{x-1}}[/mm] + [mm]\integral_{}^{}{\bruch{\bruch{-1}{2}}{x-1}}[/mm] dx

[ok]

  

> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ln |x-1| - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ln |x+1|

Klammere erst den Bruch [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] aus und fasse anschließend mittels MBLogarithmusgesetz zusammen.

Dan kannst Du auch die Grenzen einsetzen bzw. die entsprechende Grenzwertbetrachtung durchführen.


Gruß
Loddar


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Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 Di 02.06.2009
Autor: andi7987

[mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln [mm] |\bruch{x+1}{x-1}| [/mm]

passt das so?

Ja und dann weiter???

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Integrale: Grenzwert (edit.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:16 Di 02.06.2009
Autor: Loddar

Hallo Andi!


> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ln [mm]|\bruch{x+1}{x-1}|[/mm]
>  
> passt das so?

[notok] siehe unten!


Den Wert $x \ = \ 3$ einzusetzen, sollte kein Problem sein, oder?!

Und gegen welchen Wert strebt dieser Term für [mm] $x\rightarrow+\infty$ [/mm] ?


Gruß
Loddar


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Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:31 Di 02.06.2009
Autor: andi7987

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2} [/mm] ln [mm] \bruch{x+1}{x-1} [/mm] =

[mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln [mm] \bruch{n+1}{n-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln [mm] \bruch{3+1}{3-1} [/mm]

hmm.. ist es so noch richtig?



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Integrale: Grenzwert ermitteln
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Di 02.06.2009
Autor: Loddar

Hallo Andi!


[ok] Nun noch diesen Grenzwert ermitteln. Da kommt ein konkreter Zahlenwert heraus.


Gruß
Loddar


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Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:40 Di 02.06.2009
Autor: andi7987

Bei mir kommt was mit - 0,346574 raus! Aber minus für einen flächeninhalt?



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Integrale: Fehler übersehen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Di 02.06.2009
Autor: Loddar

Hallo Andi!


Da habe ich oben doch glatt einen Fehler übersehen. Die Stammfunktion lautet korrekt:

[mm] $$\bruch{1}{2}*\ln\left|\bruch{x-1}{x+1}\right|$$ [/mm]

Gruß
Loddar


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Integrale: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:06 Di 02.06.2009
Autor: andi7987

Ja des habe ich eh, aber wenn ich dann die untere grenze abziehen möchte, dann bleibt ja minus! ??

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Integrale: vorrechnen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:09 Di 02.06.2009
Autor: Loddar

Hallo Andi!


Dann solltest Du das hier vorrechnen. Ich erhalte Deinen o.g. Wert - allerdings positiv!


Gruß
Loddar


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Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:37 Di 02.06.2009
Autor: andi7987

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2} [/mm] ln [mm] \bruch{x+1}{x-1} [/mm] =

[mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln [mm] \bruch{n+1}{n-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln [mm] \bruch{3+1}{3-1} [/mm]

dann ist das doch minus! oder nicht?

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Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:49 Di 02.06.2009
Autor: Steffi21

Hallo, schaue dir noch einmal die Antwort von Loddar an "Fehler übersehen", Steffi

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Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:56 Di 02.06.2009
Autor: andi7987

Ah! also gehört n-1 doch nach oben!

Aber warum eigentlich?

Wegen dem - 1/2 ???



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Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 Di 02.06.2009
Autor: Steffi21

Hallo, setze bei deiner Partialbruchzerlegung noch einmal an

[mm] \bruch{1}{x^{2}-1}=\bruch{\bruch{1}{2}}{x-1}-\bruch{\bruch{1}{2}}{x+1} [/mm]

[mm] x^{2}-1=(x-1)*(x+1) [/mm]

Steffi


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Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:09 Di 02.06.2009
Autor: andi7987

[mm] \bruch{1}{2}* [/mm] ln|(x-1)| - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * ln|(x+2)|

Das heisst dann weiter?



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Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:24 Di 02.06.2009
Autor: kegel53

[mm] 0,5*ln(\bruch{|x-1|}{|x+1|}) [/mm]

Bezug
                                                                                                                                
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Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:30 Di 02.06.2009
Autor: andi7987

Entschuldige, dass ich folgendes noch immer nicht ganz checke:

(x+1) steht unterhalb weil es - 1/2 war, oder?

Warum bleibt eigentlich noch 0,5 vorne?? Woraus ergibt sich das?



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Bezug
Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:33 Di 02.06.2009
Autor: kegel53

Jetzt kuck dir doch mal den allerersten Eintrag an, den du selber verfasst hast(ganz unten) und kuck dir dann mal die Logarithmusgesetze an. Dann dürften alle Verständnisprobleme gekärt sein.

Bezug
                                                                                                                                                
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Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:39 Di 02.06.2009
Autor: andi7987

Jetzt habe ichs, weil ja 0,5 bei beiden vorkommt und daher ausgeklammert wird, oder? :-)

Sorry!


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Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:40 Di 02.06.2009
Autor: Steffi21

Hallo, so ist es, dann kannst du deine Grenzwertbetrachtung machen, Steffi

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Integrale: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:42 Di 02.06.2009
Autor: andi7987

Danke an alle!

Jetzt hab ichs! :-)



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