Integralbeweis < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:48 So 27.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR [/mm] -> [mm] \IR, x->f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\le0 \\ \lambda exp(-\lambda x), & \mbox{für } x>0 \end{cases} [/mm] wobei [mm] \lambda [/mm] eine positive reelle Zahl ist.
Zeigen Sie: [mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}{xf(x) dx}= \bruch{1}{\lambda} [/mm] |
Guten Abend,
um ganz ehrlich zu sein habe ich hier nicht mal einen Ansatz. Würde mich freuen, wenn mir hier jemand auf die Sprünge helfen könnte.
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 So 27.02.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Versuch es mal mit partieller Integration.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 So 27.02.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Loriot!
Aufgrund der abschnittsweisen Funktionsdefinition gilt hier:
[mm]\integral_{-\infty}^{+\infty}{x*f(x) \ dx} \ = \ \integral_{0}^{+\infty}{x*\lambda*\exp(-\lambda*x) \ dx} \ = \ \limes_{r\rightarrow +\infty}\integral_{0}^{r}{x*\lambda*\exp(-\lambda*x) \ dx}[/mm]
Die eigentliche Integration erfolgt wie oben bereits angedeutet mittels partieller Integration.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Danke schon Mal :).
[mm] \integral_{}^{}{x\lambda e^{-\lambda x} dx} [/mm] = [mm] -\lambda^{2}x e^{-\lambda x}+\lambda^{2}\integral_{}^{}{e^{-\lambda x} dx}
[/mm]
Setze [mm] u:=-\lambda*x \Rightarrow \bruch{du}{dx}= -\lambda \Rightarrow \bruch{-1}{\lambda} [/mm] du = dx [mm] \Rightarrow \integral_{}^{}{e^{u} \bruch{-1}{\lambda} du} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{\lambda} e^{-\lambda*x}
[/mm]
Also ist:
[mm] \integral_{}^{}{x\lambda e^{-\lambda x} dx} [/mm] = [mm] -\lambda^{2}x e^{-\lambda x}-\lambda*e^{-\lambda*x}
[/mm]
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 Mo 28.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke schon Mal :).
>
> [mm]\integral_{}^{}{x\lambda e^{-\lambda x} dx}[/mm] = [mm]-\lambda^{2}x e^{-\lambda x}+\lambda^{2}\integral_{}^{}{e^{-\lambda x} dx}[/mm]
>
> Setze [mm]u:=-\lambda*x \Rightarrow \bruch{du}{dx}= -\lambda \Rightarrow \bruch{-1}{\lambda}[/mm]
> du = dx [mm]\Rightarrow \integral_{}^{}{e^{u} \bruch{-1}{\lambda} du}[/mm]
> = [mm]\bruch{-1}{\lambda} e^{-\lambda*x}[/mm]
>
> Also ist:
> [mm]\integral_{}^{}{x\lambda e^{-\lambda x} dx}[/mm] =
> [mm]-\lambda^{2}x e^{-\lambda x}-\lambda*e^{-\lambda*x}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Nein. Einmal ist bei Dir
$ [mm] \integral_{}^{}{e^{-\lambda x} dx} [/mm] = - [mm] \lambda *e^{-\lambda x} [/mm] $
und ein anderes mal
$ [mm] \integral_{}^{}{e^{-\lambda x} dx} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{\lambda} *e^{-\lambda x} [/mm] $
Entscheide Dich, aber fürs richtige !
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Hm kann da ehrlich gesagt meinen Fehler nicht finden.Bei mir ist [mm] \integral_{}^{}{e^{-\lambda *x} dx} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{\lambda}*e^{-\lambda *x}. \integral_{}^{}{e^{-\lambda *x} dx} [/mm] = [mm] {-\lambda}*e^{-\lambda *x} [/mm] hab ich doch nirgends stehen o.O oder bin ich blind? Entschuldige bitte aber ich seh da wirklich nicht meinen Fehler.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Mo 28.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hm kann da ehrlich gesagt meinen Fehler nicht finden.Bei
> mir ist [mm]\integral_{}^{}{e^{-\lambda *x} dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{-1}{\lambda}*e^{-\lambda *x}. \integral_{}^{}{e^{-\lambda *x} dx}[/mm]
> = [mm]{-\lambda}*e^{-\lambda *x}[/mm] hab ich doch nirgends stehen
Wie bist Du dann auf
$ [mm] \integral_{}^{}{x\lambda e^{-\lambda x} dx} [/mm] $ = $ [mm] -\lambda^{2}x e^{-\lambda x}+\lambda^{2}\integral_{}^{}{e^{-\lambda x} dx} [/mm] $
gekommen ?
> o.O oder bin ich blind? Entschuldige bitte aber ich seh da
> wirklich nicht meinen Fehler.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
[mm] \integral_{}^{}{x\lambda*e^{-\lambda*x} dx} [/mm] = [mm] x*(\lambda*e^{-\lambda*x})' [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{(\lambda*e^{-\lambda*x})' dx}
[/mm]
[mm] (\lambda*e^{-\lambda*x})' [/mm] = [mm] \lambda*(-\lambda*e^{-\lambda*x}) [/mm] = [mm] -\lambda^{2}*e^{-\lambda*x}
[/mm]
Also ist:
[mm] \integral_{}^{}{x\lambda*e^{-\lambda*x} dx} [/mm] = [mm] x*-\lambda^{2}*e^{-\lambda*x}-\integral_{}^{}{ -\lambda^{2}*e^{-\lambda*x} dx} [/mm]
= [mm] x*-\lambda^{2}*e^{-\lambda*x}+ \lambda^{2}\integral_{}^{}{e^{-\lambda*x} dx} [/mm]
Scheint ja falsch zu sein. Weiß bloß leider nicht wo. Ich danke dir jetzt schon Mal für deine Geduld mit mir.
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Hallo
[mm] \integral_{}^{}{x*\lambda*e^{-\lambda*x} dx}
[/mm]
u=x
u'=1
[mm] v'=\lambda*e^{-\lambda*x}
[/mm]
[mm] v=-e^{-\lambda*x}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{x*\lambda*e^{-\lambda*x} dx}=-x*e^{-\lambda*x}+\integral_{}^{}{e^{-\lambda*x} dx}=-x*e^{-\lambda*x}-\bruch{1}{\lambda}*e^{-\lambda*x}=-e^{-\lambda*x}*(x+\bruch{1}{\lambda})
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Tausend Dank. Ich sollte wohl das Integrieren noch ein wenig üben :)
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