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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Fr 09.02.2007 | | Autor: | Petite |
| Aufgabe | Der Teil des Graphen der Funktion f(x)=sinx*cosx, der zwischen den Geraden mit den Gleichungen x=0 und [mm] x=\bruch{\pi}{2} [/mm] liegt, rotiere um die x-Achse.
Berechnen Sie das Volumen des dabei entstehenden Rotationskörpers. |
Hier erstmal mein Ansatz:
[mm] V=\pi\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(sinx+cosx)^{2} dx}
[/mm]
[mm] V=\pi\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(sin^{2}x+2sinx*cosx+cos^{2}x) dx}
[/mm]
nach trigonometrischen Pythagoras: [mm] sin^{2}+cos^{2}=1
[/mm]
[mm] V=\pi\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(1+2sinx*cosx) dx}
[/mm]
nun weiß ich nicht, wie ich das Integral von sinx*cosx bilden kann.
Danke für Hilfe.
Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Petite!
Heißt die Funktion nun [mm] $\sin(x)\red{*}\cos(x)$ [/mm] oder [mm] $\sin(x)\red{+}\cos(x)$ [/mm] ?
Jedenfalls kannst Du das Integral [mm] $\integral{2*\sin(x)*\cos(x) \ dx}$ [/mm] auf zwei Wegen lösen.
Entweder durch die Substitution $t \ := \ [mm] \sin(x)$ [/mm] oder durch das Additionstheorem [mm] $2*\sin(x)*\cos(x) [/mm] \ = \ [mm] \sin(2x)$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Fr 09.02.2007 | | Autor: | Petite |
Da ich ein Binom aufgelöst habe, müsste das ganze ja so erfolgen:
[mm] (sinx+cosx)^{2}=sin^{2}x+2*sinx*cosx+cos^{2}x
[/mm]
da:
[mm] (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
[/mm]
Und leider versteh ich beide deiner Lösungsvorschläge nicht, erstrecht die mit dem Additionstheorem, wo doch keine Addition mehr vorkommt.
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Hallo,
wie bereits roadrunner und riwe frage auch ich:
welches Integral soll berechnet werden?
sinx*cosx, [mm] (sinx+cosx)^2, [/mm] sinx+cosx ?
Ich blicke da nicht durch.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Fr 09.02.2007 | | Autor: | Petite |
Ich brauche nur das Integral von sinx * cosx.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Fr 09.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Eigentlich hast dus jetzt schon MEHRFACH ueberlesen und die Antwort ist lange da:
Es gilt sinx*cosx=0,5*sin2x hergeleitet aus Additionstheorem sin(x+x)
und sin2x kannst du wohl integrieren.
also naechstes mal posts genau lesen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 Fr 09.02.2007 | | Autor: | riwe |
> Der Teil des Graphen der Funktion f(x)=sinx*cosx, der
> zwischen den Geraden mit den Gleichungen x=0 und
> [mm]x=\bruch{\pi}{2}[/mm] liegt, rotiere um die x-Achse.
> Berechnen Sie das Volumen des dabei entstehenden
> Rotationskörpers.
> Hier erstmal mein Ansatz:
>
> [mm]V=\pi\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(sinx+cosx)^{2} dx}[/mm]
>
> [mm]V=\pi\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(sin^{2}x+2sinx*cosx+cos^{2}x) dx}[/mm]
>
> nach trigonometrischen Pythagoras: [mm]sin^{2}+cos^{2}=1[/mm]
> [mm]V=\pi\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(1+2sinx*cosx) dx}[/mm]
>
> nun weiß ich nicht, wie ich das Integral von sinx*cosx
> bilden kann.
>
>
> Danke für Hilfe.
>
> Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
[mm] f(x)=sinx\cdot [/mm] cosx oder f(x) = sinx + cosx ???
werner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 Fr 09.02.2007 | | Autor: | Petite |
Musste doch als erstes das Binom auflösen: [mm] (sinx+cosx)^{2}
[/mm]
[mm] (sinx+cosx)^{2}=(sin^{2}x+2sinx*cosx+cos^{2}x
[/mm]
da
[mm] (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Fr 09.02.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
ich glaube du weißt nicht was gemeint ist! Du hast dein f(x) geschrieben als f(x)=sin(x)*cos(x) und hinter deinem Integral hast du aber sin(x)+cos(x) geschrieben. Das hat doch nichts mit der binomischen Formel zu tun!!!
Vielleicht hast du dich schon von Anfang an verschrieben und dir so das Leben schwerer gemacht!
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Fr 09.02.2007 | | Autor: | Petite |
Im Integral ist ein Binom
[mm] V=\pi\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{((sinx+cosx)^{2}) dx}
[/mm]
Und dieses Binom habe ich nun erstmal aufgelöst:
[mm] V=\pi\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(sin^{2}x+2sinx*cosx+cos^{2}x) dx}
[/mm]
und da [mm] sin^{2}+cos^{2}=1 [/mm] nach meinen Tafelwerk sind, fass ich das zusammen, um es mir einfacher zu machen:
[mm] V=\pi\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(1+2sinx*cosx) dx}
[/mm]
Das Integral von 1 kann ich selber noch bilden
f(x)=1 --> F(x)=x
weiß aber nicht, wie ich das Integral von 2sinx*cosx bilden kann.
f(x)=2sinx*cosx -->F(x)=?
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Hallo,
das sollte mit partieller Integration gehen:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(2sinxcosx) dx}=2*\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(sinxcosx) dx}
[/mm]
Mit sinx=v(x) und cos(x)=u'(x) und der Regel [mm] \integral{u'(x)*v(x) dx}=u(x)*v(x)-\integral{u(x)*v'(x) dx} [/mm] kannst du dein Integral bestimmen
Gruß
schachuzipus
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