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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:03 Mo 03.03.2008 | | Autor: | haploid |
| Aufgabe | Beweise:
[mm] A_{n}A_{m}\integral_{0}^{a}{sin n\bruch{\pi}{a}x*sin m\bruch{\pi}{a}x dx}=0 [/mm] ; [mm] n\not=m [/mm] |
Hallo!
Für n=m ist das Ergebnis 1, und hier bekomme ich die Lösung auch mit partieller Integration hin. Aber wie geht das dann in der anderen Aufgabe?
Vielen Dank für alle Bemühungen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Mo 03.03.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Beweise:
> [mm]A_{n}A_{m}\integral_{0}^{a}{\sin (n\bruch{\pi}{a}x)*\sin (m\bruch{\pi}{a}x) dx}=0[/mm] ; [mm]n\not=m[/mm]
> Hallo!
> Für n=m ist das Ergebnis 1, und hier bekomme ich die
> Lösung auch mit partieller Integration hin. Aber wie geht
> das dann in der anderen Aufgabe?
Am Einfachsten ist es, wenn du das Produkt der beiden Sinusfunktionen umformst, über die Additionstheoreme:
$ [mm] \sin\alpha*\sin\beta [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) [/mm] - [mm] \cos(\alpha+\beta)) [/mm] $.
Dann musst du nur noch normale Cosinusterme integrieren.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Mo 03.03.2008 | | Autor: | haploid |
Aha.
Ok, dann hätte ich also:
[mm] A_{n}A_{m}\integral_{0}^{a}{\sin (n\bruch{\pi}{a}x)\cdot{}\sin (m\bruch{\pi}{a}x) dx}=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}A_{n}A_{m}\integral_{0}^{a}{\cos(\bruch{\pi}{a}x(n-m))-\cos(\bruch{\pi}{a}x(n+m))dx}=0
[/mm]
Aber was hilft mir das dann?
Die Seite http://integrals.wolfram.com/index.jsp rechnet dafür ein ganz kompliziertes Integral aus, mit dem ich leider auch nicht zum Ziel komm. Oder hab ich was übersehen?
Nochmal Dankeschön...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aha.
> Ok, dann hätte ich also:
> [mm]A_{n}A_{m}\integral_{0}^{a}{\sin (n\bruch{\pi}{a}x)\cdot{}\sin (m\bruch{\pi}{a}x) dx}=[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}A_{n}A_{m}\integral_{0}^{a}{\cos(\bruch{\pi}{a}x(n-m))-\cos(\bruch{\pi}{a}x(n+m))dx}=0[/mm]
> Aber was hilft mir das dann?
> Die Seite http://integrals.wolfram.com/index.jsp rechnet
> dafür ein ganz kompliziertes Integral aus, mit dem ich
> leider auch nicht zum Ziel komm. Oder hab ich was
> übersehen?
> Nochmal Dankeschön...
ich hab' mir die Seite nicht angeguckt, aber wegen $n [mm] \not=m$ [/mm] ist
$F: x [mm] \mapsto \frac{a}{\pi}\frac{1}{n-m}\sin\left(\frac{\pi}{a}x(n-m)\right)$
[/mm]
eine Stammfunktion für
$f: x [mm] \mapsto \cos\left(\bruch{\pi}{a}x(n-m)\right)$ [/mm]
(Entweder bei [mm] $\int{\cos\left(\bruch{\pi}{a}x(n-m)\right)dx}$ [/mm] geeignete Substitution druchführen, oder einfach nachrechnen, dass $F'=f$.)
Analoges gilt, wenn oben $n+m$ anstatt $n-m$ steht, falls dann $n [mm] \not=-m$ [/mm] (vielleicht kann bei Euch der letztgenannte Fall eh nicht auftreten, da vielleicht $n,m [mm] \in \IN$?).
[/mm]
Außerdem soolltest Du vorher benutzen:
[mm] $\int_{0}^{a}(f+g)=\int_0^a [/mm] f [mm] +\int_0^a [/mm] g$
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:11 Mo 03.03.2008 | | Autor: | haploid |
Ok, Danke schön! Jetzt kann ichs nachvollziehen...
Und ja, [mm] n\not=m, [/mm] da das ganze die allgemeine Lösung für eine normierte Schwingungsgleichung ist...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 So 22.06.2008 | | Autor: | haploid |
Es ist schon länger her, dass ich das gefragt habe, aber ich kann meine Rechnung leider nicht mehr nachvollziehen ^^.
Und zwar hab ich folgendes mit Stammfunktion:
[mm] \frac{1}{2} A_n A_m \{\frac{a}{\pi}\frac{1}{n-m}\sin\left(\pi(n-m)\right)\ -
\frac{a}{\pi}\frac{1}{n+m}\sin\left(\pi(n+m)\right)\} [/mm] = [mm] 0\$
[/mm]
Stimmt das so? Und wie gehts jetzt weiter? Denn wenn ich mit meinem Taschenrechner Werte eingebe, kommt nicht 0 raus. n und m sind natürliche Zahlen.
Danke für alle Antworten!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 So 22.06.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Haploid,
egal, welche ganzzahligen Werte Du für n und m einsetzt, es kommt immer ein ganzzahliges Vielfaches von Pi dabei heraus. Und der Sinus von solch einem Wert ist nunmal Null.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:14 So 22.06.2008 | | Autor: | haploid |
Da hab ich mal wieder den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen! danke schön!
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