Integralberechnung mit Fubini < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Fr 03.04.2009 | | Autor: | otava |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgendes Integral:
[mm] \integral_{B}^{}{cos(\bruch{ \pi x^{2}}{2})
) dF}
[/mm]
wobei B das Dreieck mit den Punkten (0,0), (1,0), (1,1) ist.
Bestimmen Sie zunächst die Art des Integrals. Stellen Sie dann das Integral mit Integrationsgrenzen auf zwei verschiedene Arten auf.
Hinweis: Satz von Fubini |
Hallo an Alle,
ich bin neu hier und versuche gleich mal eine Frage zu stellen.
Bei dem Integral handelt es sich meiner Ansicht nach um ein Volumenintegral.
Der Satz von Fubini ermöglicht es die Integrationsgrenzen zu vertauschen,
jedoch bin ich mir gar nicht sicher wie ich an die Aufgabe herangehen soll.
Meine Idee ist:
[mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{x}{cos(\bruch{ \pi x^{2}}{2})) dy}dx}
[/mm]
Weil die Grenzen = dem Dreieck sind und das kann ich mit [mm] x\varepsilon[0,1] [/mm] und [mm] y\varepsilon[0,x] [/mm] beschreiben.
Probleme sind folgende:
1. Ich habe nur zwei Integrale, für Volumen müssten es drei sein.
2. Was ist die zweite Art der Grenzen? Vertauschen macht hier doch keinen Sinn mehr.
Vielleicht kann mir jemand einen Grundlegenden Tip fürs herangehen geben damit ich etwas weiterkomme  Vielen Dank!
Grüße, Otava
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Fr 03.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. da das Gebiet ne Flaeche ist, ist es ein Flaechenintegral, oder ein 2dimensionales Volumen. (da steht ja auch dF und nicht dV)
Mal das Dreieck mal auf und ueberleg dir, was die Integration bedeutet.
Deine Grenzen sind fuer die eine Richtung so richtig, wenn klar ist, dass du erst ueber y, dann ueber x integrierst.
Wie du das Gebiet beschreibst ist ungewoehnlich, wenn das bei euch ueblich ist aber wohl nicht falsch.
ich haette geschrieben Grenzen sind [mm] y\le [/mm] x und [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Fr 03.04.2009 | | Autor: | otava |
Danke leduart für deine schnelle und hilfreiche Antwort!
Also ich habe ein Flächenintegral
Dann passen meine Grenzen für die Integration in der Reihenfolge dy dx
Für die zweite Art das Integral aufzustellen integriere ich genau anders herum also dx dy (Fubini).
Dann habe ich allerdings auch andere Integrationsgrenzen:
[mm] 0\le [/mm] y [mm] \le1 [/mm] und x [mm] \ge [/mm] y
Also [mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{y}^{1}{cos(\bruch{\pi x^{2}}{2}) dx} dy}
[/mm]
soweit korrekt?
Wie löse ich nun das Integral?
In beiden fällen bekomme ich das Problem, dass ich nach der ersten Integration partiell integrieren muss. Und zwar :
[mm] \integral_{0}^{1}{x cos(\bruch{\pi x^{2}}{2}) dx}
[/mm]
=
[mm] [cos(\bruch{\pi x^{2}}{2})](in [/mm] Grenzen 0,1) - [mm] \integral_{0}^{1}{- \pi x sin(\bruch{\pi x^{2}}{2}) dx}
[/mm]
oder
[mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{y} sin(\bruch{\pi y^{2}}{2}) dy}
[/mm]
=
[mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{1}{1- \bruch{1}{y} sin(\bruch{\pi y^{2}}{2}) dy}
[/mm]
da hab ich ein Problem, denn das läuft ja ewig so weiter.
Gibt es dafür einen Trick?
Viele Dank und Grüße, Otava
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Hallo otava,
> Danke leduart für deine schnelle und hilfreiche Antwort!
>
> Also ich habe ein Flächenintegral
> Dann passen meine Grenzen für die Integration in der
> Reihenfolge dy dx
>
> Für die zweite Art das Integral aufzustellen integriere ich
> genau anders herum also dx dy (Fubini).
> Dann habe ich allerdings auch andere Integrationsgrenzen:
> [mm]0\le[/mm] y [mm]\le1[/mm] und x [mm]\ge[/mm] y
>
> Also [mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{y}^{1}{cos(\bruch{\pi x^{2}}{2}) dx} dy}[/mm]
>
> soweit korrekt?
Irgendwie nicht, m.E. hast du entweder
[mm] $\int\limits_{x=0}^{x=1}\int\limits_{y=0}^{y=x}{\cos(...) \ dydx}$ [/mm] oder [mm] $\int\limits_{y=0}^{y=1}\int\limits_{x=0}^{x=y}{\cos(...) \ dxdy}$
[/mm]
>
> Wie löse ich nun das Integral?
> In beiden fällen bekomme ich das Problem, dass ich nach
> der ersten Integration partiell integrieren muss. Und zwar
> :
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{x cos(\bruch{\pi x^{2}}{2}) dx}[/mm]
Hier besser mit der Substitution [mm] $u:=\frac{\pi}{2}x^2$ [/mm] weiter ...
Damit [mm] $u'=\frac{du}{dx}=\pi\cdot{}x$, [/mm] also [mm] $dx=\frac{1}{\pi\cdot{}x} [/mm] \ du$
Das mal eingesetzt, kürzt sich das erste x vor dem Kosinus raus und du bekommst ein einfaches Integral ...
> =
> [mm][cos(\bruch{\pi x^{2}}{2})](in[/mm] Grenzen 0,1) -
> [mm]\integral_{0}^{1}{- \pi x sin(\bruch{\pi x^{2}}{2}) dx}[/mm]
>
> oder
>
> [mm]\bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{y} sin(\bruch{\pi y^{2}}{2}) dy}[/mm]
>
> =
> [mm]\bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{1}{1- \bruch{1}{y} sin(\bruch{\pi y^{2}}{2}) dy}[/mm]
>
> da hab ich ein Problem, denn das läuft ja ewig so weiter.
> Gibt es dafür einen Trick?
Substitution 
>
> Viele Dank und Grüße, Otava
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Fr 03.04.2009 | | Autor: | otava |
Super, Danke schachuzipus!
Damit hab ich die Aufgabe dann wohl gelöst.
Mit Hilfe der Substitution an der Stelle erhalte ich als Ergebnis [mm] \bruch{1}{\pi}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{x cos(\bruch{\pi x^{2}}{2}) dx}
[/mm]
Substitution wie bei schachuzipus liefert
[mm] \integral_{0}^{1}{ \bruch{1}{\pi}cos(u) du} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi}[sin(u)](in [/mm] Grenzen 1,0)
dann Rücksubstituieren und man erhält [mm] \bruch{1}{\pi}
[/mm]
Ich bedanke mich nochmal bei Allen die mich hier auf die richtige Spur gebracht haben! Gruß, Otava
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Hallo nochmal,
> Super, Danke schachuzipus!
> Damit hab ich die Aufgabe dann wohl gelöst.
>
> Mit Hilfe der Substitution an der Stelle erhalte ich als
> Ergebnis [mm]\bruch{1}{\pi}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{x cos(\bruch{\pi x^{2}}{2}) dx}[/mm]
>
> Substitution wie bei schachuzipus liefert
> [mm]\integral_{0}^{1}{ \bruch{1}{\pi}cos(u) du}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\pi}[sin(u)](in[/mm] Grenzen 1,0)
falsche Grenzen hier, rechne ohne Grenzen, dann erst resubst., dann die alten Grenzen ...
> dann Rücksubstituieren und man erhält [mm]\bruch{1}{\pi}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich bedanke mich nochmal bei Allen die mich hier auf die
> richtige Spur gebracht haben! Gruß, Otava
Versuche doch mal, das andere Doppelintegral, [mm] $\int\limits_{y=0}^{y=1}\int\limits_{x=0}^{x=y}{\cos(...) \ dxdy}$ [/mm] zu lösen, also in der anderen Reihenfolge (zuerst nach x, dann nach y integrieren)...
Das ist nämlich kein Spaß ...
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Fr 03.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie folgendes Integral:
>
> [mm]\integral_{B}^{}{cos(\bruch{ \pi x^{2}}{2})
) dF}[/mm]
>
> wobei B das Dreieck mit den Punkten (0,0), (1,0), (1,1)
> ist.
> Bestimmen Sie zunächst die Art des Integrals. Stellen Sie
> dann das Integral mit Integrationsgrenzen auf zwei
> verschiedene Arten auf.
> Hinweis: Satz von Fubini
> Hallo an Alle,
> ich bin neu hier und versuche gleich mal eine Frage zu
> stellen.
>
> Bei dem Integral handelt es sich meiner Ansicht nach um ein
> Volumenintegral.
>
> Der Satz von Fubini ermöglicht es die Integrationsgrenzen
> zu vertauschen,
> jedoch bin ich mir gar nicht sicher wie ich an die Aufgabe
> herangehen soll.
> Meine Idee ist:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{x}{cos(\bruch{ \pi x^{2}}{2})) dy}dx}[/mm]
>
> Weil die Grenzen = dem Dreieck sind und das kann ich mit
> [mm]x\varepsilon[0,1][/mm] und [mm]y\varepsilon[0,x][/mm] beschreiben.
>
> Probleme sind folgende:
>
> 1. Ich habe nur zwei Integrale, für Volumen müssten es drei
> sein.
> 2. Was ist die zweite Art der Grenzen? Vertauschen macht
> hier doch keinen Sinn mehr.
Doch:
$ [mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{y}{cos(\bruch{ \pi x^{2}}{2})) dx}dy} [/mm] $
FRED
>
>
> Vielleicht kann mir jemand einen Grundlegenden Tip fürs
> herangehen geben damit ich etwas weiterkomme Vielen
> Dank!
> Grüße, Otava
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Fr 03.04.2009 | | Autor: | otava |
Danke Fred!
Hab deine Antwort gerade erst gelesen
Die Integrationsgrenzen hab ich dann auch, nur das mein x von y bis 1 läuft.
Aber das dürfte ja denselben Wert ergeben!
Mein Problem liegt nun bei der partiellen Integration nach dem ersten Integrieren. Habe dazu eine Frage im anderen Antwortzweig geschrieben.
Vielen Dank für deine Mühe!
Gruß Otava
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