Integralberechnung Bruch/Wurz. < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Integrale
a)
[mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{x^2}{\wurzel{6-2x^{3}}} dx}[/mm] |
Hallo,
ich sitze hier vor einer alten Klausuraufgabe mit Musterlösung und hänge in einem Schritt.
Musterlösung:
[mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{x^2}{\wurzel{6-2x^{3}}} dx} = -\bruch{1}{3}\integral_{0}^{1}{\bruch{-6x^{2}}{2*\wurzel{6-2x^{3}}} dx} = -\bruch{1}{3} \links[ \wurzel{6-2x^{3}} \rechts]_{0}^{1} = -\bruch{1}{3}\links(\wurzel{4}-\wurzel{6}\rechts) = -\bruch{2}{3}+\wurzel{\bruch{2}{3}}[/mm]
Hat jemand eine Idee, wie hier die Stammfunktion gebildet wird?
Also der Schritt hier:
[mm]-\bruch{1}{3}\integral_{0}^{1}{\bruch{-6x^{2}}{2*\wurzel{6-2x^{3}}} dx} = -\bruch{1}{3} \links[ \wurzel{6-2x^{3}} \rechts]_{0}^{1}[/mm] ergibt bei mir nur Fragezeichen, da ich das hier mit der Stammfunktion nicht so wirklich verstehe. :(
Denn wenn ich die [mm]-6x^{2}[/mm] aufleite, so habe ich dort immer noch [mm]-\bruch{6}{3}x^{3}[/mm] die ich ja irgendwie nicht mehr so wirklich wegbekomme oder mache ich hier gerade was kollosal falsch?
Ich kann den Nenner ja nach oben ziehen [mm]-6x^{2}*(6-2x^{3})^{-\bruch{1}{2}}*\bruch{1}{2}[/mm] und dann kann ich ja ansetzen:
[mm]-\bruch{6}{3}x^{3}*2*(6-2x^{3})^{\bruch{1}{2}}*\bruch{2}{4}*x^{4}*\bruch{1}{2}[/mm] aber hier hängt's jetzt irgendwie, da ich das ganze ja so konstruieren muss, dass bei ner Ableitung wieder [mm]-6x^{2}*(6-2x^{3})^{-\bruch{1}{2}}*\bruch{1}{2}[/mm] herauskommt.
Vielen Dank fürs Mitdenken und viele Grüße,
LeereDose
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Fr 25.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo LeereDose!
Hinter dieser Integration steckt folgende Substitution:
$$u \ := \ [mm] 6-2x^3$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Boah, DAS war schnell. ;)
Aber *hmpf* - jetzt habe ich ja, wenn ich das substituiere - einen Bruch, der nicht unbedingt besser aussieht.
Im Endeffekt habe ich jetzt drei DIN A4-Seiten vollgeschrieben und komme im Endeffekt nicht mehr auf [mm]-\bruch{1}{3} \links[ \wurzel{6-2x^{3}} \rechts][/mm] :(
Für [mm]u:=6-2x^{3}[/mm] gilt ja [mm]x=\wurzel[3]{\bruch{6-u}{2}} du[/mm]
D.h.
[mm]-\bruch{1}{3} \integral_{a}^{b}{\bruch{-6*(\wurzel[3]{\bruch{6-u}{2}})^{2}}{2*\wurzel{u}}[/mm] und wenn ich jetzt das Aufleiten möchte, dann wird es erst so richtig eklig.
...
[mm]-\bruch{1}{3} \links[ -\bruch{18}{5}(6-u)^{\bruch{5}{3}}*(2)^{-\bruch{2}{3}}*(4u)^{\bruch{1}{2}} \rechts]_0^{1}[/mm]
Oder habe ich da jetzt irgendwo nen Bock geschossen?
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Hallo LeereDose,
> Boah, DAS war schnell. ;)
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> Aber *hmpf* - jetzt habe ich ja, wenn ich das substituiere
> - einen Bruch, der nicht unbedingt besser aussieht.
> Im Endeffekt habe ich jetzt drei DIN A4-Seiten
> vollgeschrieben und komme im Endeffekt nicht mehr auf
> [mm]-\bruch{1}{3} \links[ \wurzel{6-2x^{3}} \rechts][/mm] :(
>
> Für [mm]u:=6-2x^{3}[/mm] gilt ja [mm]x=\wurzel[3]{\bruch{6-u}{2}} du[/mm]
>
> D.h.
> [mm]-\bruch{1}{3} \integral_{a}^{b}{\bruch{-6*(\wurzel[3]{\bruch{6-u}{2}})^{2}}{2*\wurzel{u}}[/mm]
> und wenn ich jetzt das Aufleiten möchte, dann wird es erst
> so richtig eklig.
> ...
> [mm]-\bruch{1}{3} \links[ -\bruch{18}{5}(6-u)^{\bruch{5}{3}}*(2)^{-\bruch{2}{3}}*(4u)^{\bruch{1}{2}} \rechts]_0^{1}[/mm]
>
> Oder habe ich da jetzt irgendwo nen Bock geschossen?
Nein.
Hier brauchst Du nicht nach x umformen, denn
[mm]u:=6-2*x^{3} \Rightarrow du = -6*x^{2}\ dx[/mm]
Im Zähler steht demnach, bis auf einen konstanten Faktor,
die Ableitung von u.
Gruss
MathePower
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Die vorgegebene Lösung nutzt direkt aus, dass
[mm](\sqrt{x})' = \frac{1}{2*\sqrt{x}} [/mm] bzw. daraus: [mm](\sqrt{f(x)})' = \frac{f'(x)}{2*\sqrt{f(x)}} [/mm] ist.
Daher auch die Umformung der Koeffizienten, damit f' in Zähler steht. Durch Substitution kann man es genau so lösen, aber das 'Hinbasteln' hat auch Vorzüge.
Gruß, MatheOldie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Fr 25.09.2009 | | Autor: | LeereDose |
> Die vorgegebene Lösung nutzt direkt aus, dass
>
> [mm](\sqrt{x})' = \frac{1}{2*\sqrt{x}}[/mm] bzw. daraus:
> [mm](\sqrt{f(x)})' = \frac{f'(x)}{2*\sqrt{f(x)}}[/mm] ist.
>[...]
Ne, das ist jetzt nicht wahr, oder? - Ich sitz hier ne halbe Ewigkeit dran und Du löst das Ding so mir nichts dir nichts. :)
Gibt's eigentlich irgendwo ein Buch mit solchen Kniffen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Fr 25.09.2009 | | Autor: | MatheOldie |
> Gibt's eigentlich irgendwo ein Buch mit solchen Kniffen?
Ist mir nicht bekannt. Vieles ist Erfahrung (und dabei erfahrene Frustration :) ). Allerdings hilft es sehr,
- wenn man einen guten Grundvorrat an Funktionen mitsamt ihren Ableitungen bzw. Integralen im Kopf hat (wie hier z.B. Wurzel(x)).
- wenn man ein Integral erst einmal ausführlich auf seine Zusammensetzung ansieht. Z.B.: Kommt zu einer Teilfunktion die Ableitungsfunktion vor? Dann hat man nämlich einen Hinweis auf eine mögliche Substitution oder kann "basteln" (wie oben) oder kann bei geeignetem Funktionsbau die logarithmische Regel anwenden ...
Es gibt eine Reihe von Substitutionen, die für bestimmte Funktionstypen besonders erfolgreich sind. Diese findet man in Formelsammlungen, z.B. dem früher (fast) unschlagbaren Bronstein.
Gruß, MatheOldie
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