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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 So 29.03.2009 | | Autor: | didi1985 |
| Aufgabe | | Man berechne [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{x^4+1}dx} [/mm] |
Hi!
Aufgabe sieht ja eigentlich ganz einfach aus. (Lösung übrigens [mm] \bruch{\pi}{4}
[/mm]
Problem hierbei ist, dass die Funktion symmetrisch zum Ursprung ist. Daher kann ich also nicht [mm] \bruch{1}{2}\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{x}{x^4+1}dx} [/mm] nutzen, um dann die Residuen Nullstellen des unteren Polynoms in der obereen Halbebene zuammenzuzählen und mit [mm] 2\pi [/mm] i zu multiplizieren.
Man muss wohl diese Funktion irgendwie umschreiben, aber wie?
Vielleicht kann mir jemand helfen
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[mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{x^4+1}dx}[/mm]
Probier doch mal die Substitution [mm] x^2=u [/mm] aus !
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 So 29.03.2009 | | Autor: | didi1985 |
danke für den tipp.
hierzu eine frage: läuft es dann auch auf eine lösung mithilfe residuen hinaus? So wurde das eigentlich in der Frage verlangt.
Zur Substitution: Irgendetwas muss man doch bestimmt beachten. Mann kann bestimmt nicht einfach die Substituion durchführen und losrechnen, oder? Insbesondere weil Wurzel aus u ja keine negativen Werte annehmen darf...
Gibts da eine Subnstitutionsregel (vielleicht Analysis)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:59 So 29.03.2009 | | Autor: | didi1985 |
"So wurde es in der Aufgabenstellung verlangt" bezog sich auf die Aufgabe aus dem Buch, aus der ich diese habe.
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Hallo didi1985,
> danke für den tipp.
> hierzu eine frage: läuft es dann auch auf eine lösung
> mithilfe residuen hinaus? So wurde das eigentlich in der
> Frage verlangt.
> Zur Substitution: Irgendetwas muss man doch bestimmt
> beachten. Mann kann bestimmt nicht einfach die Substituion
> durchführen und losrechnen, oder? Insbesondere weil Wurzel
> aus u ja keine negativen Werte annehmen darf...
> Gibts da eine Subnstitutionsregel (vielleicht Analysis)?
>
Nun, die Substitution kann so durchgeführt werden.
Bei der Auswertung des Integrals muß man dann eine
Grenzwertbetrachtung durchführen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Mo 30.03.2009 | | Autor: | didi1985 |
hmm... mir ist nicht so ganz klar, was du meinst. Wäre nett, wenn du präzisieren könntest, welche Art von Grenzübergang du meinst. Da steh ich auf dem Schlauch.
Und wenn ich auf meinen Vorredner bzgl. Substitution zu sprechen kommen darf: Gilt für das Integral bei einer Substitution [mm] x=\wurzel{u}:
[/mm]
[mm] I=\integral_{0}^{\infty}{\bruch{\wurzel{u}}{u^2+1}\cdot\bruch{1}{2\wurzel{u}} du}
[/mm]
Ich hoffe, ich habe die Substitutionsrgeel hier richtig angewandt. Dann wär es relativ einfach, weiter zu rechnen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Mo 30.03.2009 | | Autor: | iks |
> hmm... mir ist nicht so ganz klar, was du meinst. Wäre
> nett, wenn du präzisieren könntest, welche Art von
> Grenzübergang du meinst.
Moin!
Ich glaube es ist [mm] $\integral_{0}^{\infty}f(x)dx=\lim_{a\to\infty}\integral_{0}^{a}f(x)dx$ [/mm] gemeint.
mFg iks
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> Gilt für das Integral bei einer
> Substitution [mm]x=\wurzel{u}:[/mm]
>
> [mm]I=\integral_{0}^{\infty}{\bruch{\wurzel{u}}{u^2+1}\cdot\bruch{1}{2\wurzel{u}} du}[/mm]
>
> Ich hoffe, ich habe die Substitutionsregel hier richtig
> angewandt. Dann wär es relativ einfach, weiter zu
> rechnen...
Die Substitution habe ich mir sogar ein wenig
einfacher vorgestellt:
[mm] x^2=u [/mm] also $\ 2x\ [mm] dx\,=\,du$
[/mm]
[mm] $\integral_{0}^{\infty}\bruch{x}{x^4+1}\,dx\ [/mm] =\ [mm] \bruch{1}{2}*\integral_{0}^{\infty}\bruch{1}{u^2+1}\,du$
[/mm]
Der Rest geht dann mit $\ arctan(u)$ sehr leicht.
Und mit Residuensatz etc. hat das Ganze nach meiner
Ansicht nichts zu tun, da sich eigentlich alles im Reellen
abspielt.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Mo 30.03.2009 | | Autor: | didi1985 |
Ich danke euch. Den arctan hab ich wohl verdrängt...
Die Aufgabe stand beim Kapitel Anwendungen des Resíduensatzes.
Ich habs mal durchgerechnet und es kommt (logischerweise) das richtige Ergebnis raus
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