Integralberechnung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Fr 15.02.2008 | | Autor: | LaDyAnNi |
| Aufgabe | Wie groß ist die Fläche, die zwischenden Graphen von f und g in dem intervall liegt?
a) f(x)=x³; g(x)=x+1 Intervall [ -1; 1 ]
b) f(x)=2x² ; g(x)=1/2x² Intervall [0,5 ; 2 ] |
Bei teil b) weiß ich nicht wie ich aus 1/2x² die stammfunktion bilden muss. Es gibt da ja auch so eine regel das man das nicht mehr als Bruch schreibt sondern als normale Zahl. Könnte mir das vielleicht nocheinmla jemand erklären wie man das umschreibt?
Und bei teil a) mächte ich mal das ergebnis gerne wissen. ich bin mir nicht sicher ob da 2,5 2,25 oder irgendwas anderes herauskommt.
Würde mich auf eine antwort freuen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Fr 15.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie groß ist die Fläche, die zwischenden Graphen von f und
> g in dem intervall liegt?
> a) f(x)=x³; g(x)=x+1 Intervall [ -1; 1 ]
> b) f(x)=2x² ; g(x)=1/2x² Intervall [0,5 ; 2 ]
> Bei teil b) weiß ich nicht wie ich aus 1/2x² die
> stammfunktion bilden muss. Es gibt da ja auch so eine regel
> das man das nicht mehr als Bruch schreibt sondern als
> normale Zahl. Könnte mir das vielleicht nocheinmla jemand
> erklären wie man das umschreibt?
ja, benutze, dass [mm] $\frac{1}{x^2}=x^{-2}$ [/mm] gilt, und dann kannst Du benutzen, dass für $x [mm] \mapsto x^{\alpha}$ [/mm] mit [mm] $\alpha \not=-1$ [/mm] die Funktion $x [mm] \mapsto \frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}$ [/mm] (wenigstens auf [mm] $\IR_{> 0}$) [/mm] eine Stammfunktion ist.
(Btw.: Für $x [mm] \mapsto \frac{1}{x}=x^{-1}$ [/mm] (auf [mm] $\IR_{>0}$) [/mm] ist $x [mm] \mapsto \ln(x)$ [/mm] eine Stammfunktion.)
> Und bei teil a) mächte ich mal das ergebnis gerne wissen.
> ich bin mir nicht sicher ob da 2,5 2,25 oder irgendwas
> anderes herauskommt.
Okay, rechnen wir die Aufgabe a) mal durch. Zunächst sollte man sich fragen, ob die Graphen der beiden Funktionen Schnittstellen haben (Skizze!). Offensichtlich gilt aber für $|x| [mm] \le [/mm] 1$, dass $g(x)=x+1 > [mm] x^3$ [/mm]
(denn:
[mm] $x+1>x^3$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 1 > [mm] x(x^2-1)$ $(\*)$
[/mm]
Und für $|x| [mm] \le [/mm] 1$ gilt [mm] $x^2-1 \le [/mm] 0$. Für $x=0$ bzw. $x=1$ gilt [mm] $(\*)$ [/mm] offensichtlich.
Für $0 < x < 1$ ist dann [mm] $x(x^2-1) [/mm] < 0$, also insbesondere $< 1$, also gilt auch hier [mm] $(\*)$.
[/mm]
Für $-1 < x < 0$ ist die rechte Seite von [mm] $(\*)$ [/mm] zwar positiv, aber hier gilt [mm] $x(x^2-1)=|x||x^2-1|$, [/mm] und das letzte Produkt ist offensichtlich $< 1$, da die beiden (positiven) Faktoren [mm] $|x|,|x^2-1| [/mm] < 1$.
Für $x=-1$ ist [mm] $x(x^2-1)=-1*0=0$ [/mm] und $0 < 1$ ist auch hier offensichtlich wahr. Mit anderen Worten:
Für $|x| [mm] \le [/mm] 1$ gilt [mm] $x(x^2-1) [/mm] < 1$ und damit auch $x+1 > [mm] x^3$.)
[/mm]
Also:
Wir haben nun
[mm] $\int_{-1}^1 [/mm] {(g(x)-f(x))dx}$ zu berechnen:
[mm] $\int_{-1}^1 {(g(x)-f(x))dx}=\int_{-1}^1 {(x+1-x^3)dx}=\left[\frac{1}{2}x^2+x-\frac{1}{4}x^4\right]_{x=-1}^{x=1}=\frac{1}{2}+1-\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{2}-1-\frac{1}{4}\right)=2$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Sa 16.02.2008 | | Autor: | LaDyAnNi |
| Aufgabe | Wie groß ist die Fläche zwischen den Graphen von f und g in dem intervall I?
a) f(x)= x³ g(x)= x+1 I=[-1; 1]
b) f(x)=2x² g(x)= (1/2x²) I=[ 0,5 ; 2] |
also das mit dem (1/2x²) umschreiben verstehe ich immernoch nicht. Also wir hbaen vor ein paar stunden in der Schule (-1/x²) umgeschrieben und da kam dann als Stammfunktion [ xhoch minus1 ] heraus versteh nicht wie die das gemacht haben.
Und würde es nett finden wenn mir mal einer den rechenweg vorführen könnte wie man bei a) auf 2 kommt.
Wäre nett wenn mir einer eine rechnerische Lösung zeigen könnte.
Ich selber habe bei a) 2,25 oder 2,5 rausbekomen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Sa 16.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Anni
Marcel hat dir doch die erste Aufgabe ausführlich vorgerechnet! Du musst schon ganz genau sagen, was du daran nicht verstehst.
Noch besser, du schreibst auf, wie du rechnest, um auf deine 2,5 oder 2,25 zu kommen, dann können wir sehen, wo deine Schwierigkeiten oder Fehler liegen.
zur Wiederholung noch mal
[mm] \bruch{1}{x^2}=x^{-2} [/mm]
und die allgemeine Integrationsregel für [mm] x^r [/mm] ist [mm] \bruch{1}{r+1}*x^{r+1} [/mm] dabei darf r jeden negative oder positive Zahl sein kann AUSSER r=1.
Gruss leduart
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 12:51 Sa 16.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Hi,
damit du nicht verwirrt bist:
leduart meint natürlich "AUSSER r=-1".
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Sa 16.02.2008 | | Autor: | LaDyAnNi |
Berechne den Flächeninhalt zwischen den Graphen f(x) und g(x). im Intervall = I
f(x)= x³ g(x)= x+1 I=[ -1 ; 1 ]
Ich schreibe jetzt mal auf, wie ich die Aufgabe a( berechnet habe.
Zuerst habe ich Flächeninhalt von f(x) ausgercehnt:
Einmal den Integarl von 0 bis -1, da es ja unterhalb der x achse ist, von f(x).
[mm] \integral_{-1}^{0} x³\, [/mm] dx = [mm] \left[ \bruch{1}{4} x^4\right] [/mm] oben an die klammer auch nochmal 0 und unten -1, den intervall
= [mm] \left( \bruch{1}{4} * (0)^4\right) [/mm] - [mm] \left( \bruch{1}{4} * (-1)^4\right)
[/mm]
= 0 - [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
= - [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Also ist der Flächeninhalt des unteren Bereiches A= [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Jetzt rechne ich den oberen Flächeninhal von f(x) aus:
Zuerst habe ich Flächeninhalt von f(x) ausgercehnt:
Einmal den Integarl von 0 bis -1, da es ja unterhalb der x achse ist, von f(x).
[mm] \integral_{0}^{1} x³\, [/mm] dx = [mm] \left[ \bruch{1}{4} x^4\right] [/mm] oben an die klammer auch nochmal 1 und unten 0, den intervall
= [mm] \left( \bruch{1}{4} * (-1)^4\right) [/mm] - [mm] \left( \bruch{1}{4} * (0)^4\right)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4} [/mm] - 0
= [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Also ist der obere Flächeninhalt [mm] A=\bruch{1}{4}
[/mm]
Und wenn die beiden Flächeninhalte zusammen rechnet kommt da [mm] \bruch{1}{2} [/mm] raus.
Jetzt rechne ich noch den Flächeninhalt des Graphen von g(x) aus:
[mm] \integral_{-1}^{1} x+1\, [/mm] dx = [mm] \left[ 0,5x² + 1x \right] [/mm] oben an die klammer auch nochmal 1 und unten -1, den intervall
= (0,5*(1)² + 1*(1)) - (0,5*(-1)² + 1*(-1))
= 1,5 - (-0,5)
= 2
Und wenn man den Flächeninhalt zwischen den beiden raphen ausrechnen mus muss man doch den kleineren Graphen vom größeren graphen abziehen. also g(x) - f(x)= A
Und wenn ich 2 - 0,5 rechne kommt dann ja 1,5 heraus.
hab mich vorher selber verrcehnt mit den 2,5
Vieleicht kannmir hier einer helfen was ich falsch gemacht habe oder ob das vielleicht doch richitg ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Sa 16.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Hallo!
Du musst nur aufteilen, wenn die Grafen Schnittpunkte miteinander haben (anders ist das, wenn du nur den Grafen einer Funktion untersuchst, der darf für die Flächenberechnung keine Nullstellen haben, sondern nur für die Bilanzberechnung!).
Setze [mm] x^3=x+1 [/mm] und du erkennst, dass es für dein Intervall keinen Schnittpunkt gibt. Du darfst also schön durchintegrieren:
[mm] A=\vmat{\integral_{-1}^{1}{(f(x)-g(x))dx} }=\vmat{\integral_{-1}^{1}{(x³-x-1)dx}}=\vmat{[\bruch{1}{4}x^4-\bruch{1}{2}x^2-x]_{-1}^{1}}=\vmat{(\bruch{1}{4}*1^4-\bruch{1}{2}*1^2-1)-(\bruch{1}{4}*(-1)^4-\bruch{1}{2}*(-1)^2+1)}=\vmat{-2}=2
[/mm]
Bei deiner Lösung hast du ja die zwei Flächeneinheiten, die das Dreieck von x+1 einschliesst, richtig erkannt. Allerdings hast du den Teil, den [mm] x^3 [/mm] davon im Bereich von 0 bis 1 wegnimmt, zwar abgezogen, aber dabei nicht eingeplant, dass [mm] x^3 [/mm] diesen Teil im Bereich von -1 bis 0 "wiedergibt", also zum einen dem Dreieck nichts wegnimmt, aber zum anderen denselben Teil A=1/4, den es gerade "geklaut" hat, jetzt unterhalb der x-Achse zusätzlich aufspannt. Im Endeffekt macht [mm] x^3 [/mm] also nichts an der Fläche zwischen den Grafen.
Mal es dir am besten mal auf oder lass es dir plotten!
Grüße
Oli
/edit v1 wegen ein paar Schönheitsfehlern ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 Sa 16.02.2008 | | Autor: | LaDyAnNi |
ok, habe jetzt alles verstanden, danke für eure Hilfe 
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Hi,
zur ersten Frage:
Allgemein gilt die Regel:
[mm] \bruch{1}{x^{n}} [/mm] = [mm] x^{-n} [/mm] (solange x =! (ungleich) 0)
Das bedeutet wenn du hier
[mm] \bruch{1}{2x^{2}}
[/mm]
hast, kannst du das umwandeln in
[mm] \bruch{1}{2}x^{-2}
[/mm]
Jetzt kannst du ganz regulär das Integral berechnen, wobei da nicht, wie du sagtest, x^(-1) rauskommt, sondern x^(-1) mit einem Vorfaktor. Allerdings sollte es nicht so schwer sein, diesen nun zu ermitteln :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Sa 16.02.2008 | | Autor: | LaDyAnNi |
Aber wenn man [mm] \left( \bruch{1}{2x²} \right) [/mm] umschreibt, kommt da nicht eigentlich 2x^-2 heraus.
Und die Stammfunktion wäre dann doch -2x^-1.
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Hallo Anna,
nein, so kannst du das nicht schreiben, es ist
[mm] $\left(\frac{1}{2x^2}\right)=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{x^2}=\frac{1}{2}\cdot{}x^{-2}$
[/mm]
Also ist eine Stammfunktion ....
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Sa 16.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Hallo nochmal!
Du musst beachten, dass du dann schon den ganzen Nenner hoch minus 1 nehmen musst, wenn du ihn in den Zähler holst bzw. wenn du den Bruch weg haben willst:
Also gaaanz ausführlich:
[mm] (2x^2)^{-1} [/mm] ist das gleiche wie [mm] 2^{-1}*(x^2)^{-1}, [/mm] da gilt: [mm] (a*b)^c=a^b*b^c [/mm] (Regel: Multiplizieren von Potenzen mit dem gleichen Exponenten)
[mm] (x^2)^{-1} [/mm] ist nach Potenzgesetzen nun [mm] x^{-2} [/mm] und [mm] 2^{-1} [/mm] schreibt man normalerweise als [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] also erhalten wir [mm] \bruch{1}{2}*x^{-2}
[/mm]
Also jetzt dürfte das wirklich klar sein ;)
Grüße
Oli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Marcel |
> [mm](a*b)^c=a^{\red{b}}*b^c[/mm] (Regel: Multiplizieren von Potenzen mit
Du meintest dort natürlich:
[mm] $(a*b)^c=a^{\blue{c}} [/mm] * [mm] b^c [/mm] $
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 Mo 18.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Huch, sorry, ja klar meinte ich das ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 Sa 16.02.2008 | | Autor: | LaDyAnNi |
Ich wollte mich für eure Hilfe bedanken. Hab jetzt alles verstanden.
Danke
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