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Integralberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:15 Fr 10.01.2014
Autor: Fry

Hallo zusammen,

ich möchte gerne das Integral [mm]\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x}e^{-x}dx[/mm] berechnen (sofern existent) bzw. nach oben abschätzen.
Hätte jemand einen Tipp?
Eigentlich steht da ja [mm] $\Gamma(0)$, [/mm] aber an der Stelle 0 hat ja [mm] $\Gamma$ [/mm] ne Polstelle...

LG
Fry

        
Bezug
Integralberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:20 Fr 10.01.2014
Autor: reverend

Hallo Fry,

hier geht doch der "Standardtrick" bei uneigentlichen Integralen.

> ich möchte gerne das Integral
> [mm]\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x}e^{-x}dx[/mm] berechnen (sofern
> existent) bzw. nach oben abschätzen.
>  Hätte jemand einen Tipp?
>  Eigentlich steht da ja [mm]\Gamma(0)[/mm], aber an der Stelle 0 hat
> ja [mm]\Gamma[/mm] ne Polstelle...

Berechne halt [mm] \lim_{a\to 0}\integral_{a}^{\infty}\frac{1}{x}e^{-x}dx, [/mm] bzw. schätze das ab.

Unter Umständen ist es noch hilfreich, das Integral bei x=1 zu teilen.

Grüße
reverend
Grüße
reverend

Bezug
        
Bezug
Integralberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:33 Fr 10.01.2014
Autor: schachuzipus

Hallo,

kleine Ergänzung:

Das Integral zu berechnen, ist kaum möglich, eine Stammfunktion lässt sich mit elementaren Funktionen nicht angeben ...

Die in der anderen Antwort gegebene Idee, das Integral zu schreiben als

[mm]\int\limits_{0}^1{\frac{1}{x}e^{-x} \ dx} \ + \ \int\limits_{1}^{\infty}{\frac{1}{x}e^{-x} \ dx}[/mm]

ist schon die halbe Miete.

Das erste Integral divergiert schon gegen [mm]\infty[/mm], das kannst du sehr leicht abschätzen.

Das andere interessiert dann nicht mehr, denn [mm]f(x)=\frac{1}{x}e^{-x}>0[/mm] für alle [mm]x\ge 0[/mm]

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Integralberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:35 Fr 10.01.2014
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

schau mal hier, wie hässlich das ist ...

http://mathworld.wolfram.com/ExponentialIntegral.html

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Integralberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:12 Fr 10.01.2014
Autor: Fry

Huhu,

danke für eure Antworten,

also ich hab dann folgende Abschätzung gemacht:

[mm]\int_{0}^{1}\frac{1}{x*e^x}dx\ge \int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx=-\lim_{a\to 0}ln(x)=\infty[/mm].

LG

Bezug
                        
Bezug
Integralberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:18 Fr 10.01.2014
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Huhu,

>

> danke für eure Antworten,

>

> also ich hab dann folgende Abschätzung gemacht:

>

> [mm]\int_{0}^{1}\frac{1}{x*e^x}dx\ge \int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx=-\lim_{a\to 0}ln(x)=\infty[/mm].

Du willst also im fraglichen Bereich [mm]e^{-x}[/mm] durch 1 abschätzen, also [mm]e^{-x}\ge 1[/mm] haben.

Ob das mal richtig ist?

Mit [mm]0
Passt also nicht ...

Nimm einen Bruch [mm]\le e^{-1}[/mm] für die Abschätzung ...


Ansonsten ist das der Weg!

>

> LG

Gruß

schachuzipus

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