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| Aufgabe | Aufgabe siehe http://www-ifm.math.uni-hannover.de/~koeditz/Ana2_10/Ana2_10l.pdf
Nummer 53 |
Hallo!
ich habe ein Problem die Lösung zur Aufgabe 53 zu verstehen. Im Beweis steht in dem Absatz beginnend mit:
Für $n>1$ erhält man....
dann in der zweiten Gleichungszeile zweite Abschänzung - da steht dann auf einmal nen [mm] $\frac{1}{n!}$ [/mm] und ich hab keinen blassen Schimmer, wie das dahin kommen soll.
Wär super nett, wenn mir da jemand auf die Sprünge hilft!
Vielen Dank im Voraus,
Lorenz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:37 Di 06.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Es geht also um
[mm] $|T^n(y)(x)-T^n(z)(x)| \le \bruch{(Lx)^n}{n!}||y-z||$
[/mm]
Für n=1 ist das in dem pdf-Dokument gezeigt. Und was steht da noch ????
Da steht noch: " Für $ n>1 $ erhält man erhält man so durch Induktion :
[mm] $|T^n(y)(x)-T^n(z)(x)| \le \bruch{(Lx)^n}{n!}||y-z||$
[/mm]
Tja, und dieser Induktionsbeweis bleibt dem Leser überlassen ! Dann mach ihn mal und Du wirst sehen, es funktioniert wunderbar.
Manchmal muß man Dinge einfach tun
FRED
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Hallo Fred,
danke für die rasche Antwort. Ich habe die Aufgabe mehrfach gelesen. Das Problem ist, wie gesagt, das $1/n!$, auf [mm] $(La)^n$ [/mm] komme ich selbst:
[mm] $$\vert T^n(y)(x)-T^n(z)(x)\vert=\vert T(T^{n-1}(y)(x))-T(T^{n-1}(z)(x))\vert$$
[/mm]
Da nach Voraussetzung [mm] $T:B\rightarrow [/mm] B$, gilt (da in $B$ geltend, auch in $T(B)$ geltend) auch für alle [mm] $n\in \mathbb [/mm] N$ die Lipschitzbed.
[mm] $$\vert T(T^{n-1}(y)(x))-T(T^{n-1}(z)(x))\vert\leq \int_0^x L\vert T^{n-1}(y)(x)-T^{n-1}(z)(x)\vert [/mm] dt$$
Darausfolgt aber meiner Ansicht nach NUR:
[mm] $$\vert T(T^{n-1}(y)(x))-T(T^{n-1}(z)(x))\vert\leq L\int_0^xL\int_0^x\ldots L\int_0^x \vert y-z\vert\,dt\,dt\ldots dt\,dt\leq L\int_0^xL\int_0^x\ldots [/mm] L [mm] x\,\Vert y-z\Vert\,dt\,dt\ldots [/mm] dt$$
Wir haben $n$ Integrationen über die Konstante [mm] x^k\,\Vert y-z\Vert [/mm] von 0 bis $x$ und k wächst pro Int um eins, es gilt dann noch die Abschätzung [mm] $x\leq [/mm] a$, so dass man [mm] $(La)^n$ [/mm] bekommt und Faktor [mm] $\Vert y-z\Vert$ [/mm] bleibt natürlich auch. Doch woher kommt das $1/n!$???
Ich werde die Frage deshalb wieder als unbeantwortet deklarieren.
Gruß,
Lorenz
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Di 06.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum machst du nicht die Induktion, n=1 hast du ja schon, nimm an die Formel mit n! stimmt und mach den induktionsschritt. (du kannst ihn ja auch ohne n! versuchen, dann klappts halt nicht.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 Di 06.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> danke für die rasche Antwort. Ich habe die Aufgabe
> mehrfach gelesen. Das Problem ist, wie gesagt, das [mm]1/n![/mm],
> auf [mm](La)^n[/mm] komme ich selbst:
>
> [mm]\vert T^n(y)(x)-T^n(z)(x)\vert=\vert T(T^{n-1}(y)(x))-T(T^{n-1}(z)(x))\vert[/mm]
>
> Da nach Voraussetzung [mm]T:B\rightarrow B[/mm], gilt (da in [mm]B[/mm]
> geltend, auch in [mm]T(B)[/mm] geltend) auch für alle [mm]n\in \mathbb N[/mm]
> die Lipschitzbed.
> [mm]\vert T(T^{n-1}(y)(x))-T(T^{n-1}(z)(x))\vert\leq \int_0^x L\vert T^{n-1}(y)(x)-T^{n-1}(z)(x)\vert dt[/mm]
>
> Darausfolgt aber meiner Ansicht nach NUR:
> [mm]\vert T(T^{n-1}(y)(x))-T(T^{n-1}(z)(x))\vert\leq L\int_0^xL\int_0^x\ldots L\int_0^x \vert y-z\vert\,dt\,dt\ldots dt\,dt\leq L\int_0^xL\int_0^x\ldots L x\,\Vert y-z\Vert\,dt\,dt\ldots dt[/mm]
>
> Wir haben [mm]n[/mm] Integrationen über die Konstante [mm]x^k\,\Vert y-z\Vert[/mm]
> von 0 bis [mm]x[/mm] und k wächst pro Int um eins, es gilt dann
> noch die Abschätzung [mm]x\leq a[/mm], so dass man [mm](La)^n[/mm] bekommt
> und Faktor [mm]\Vert y-z\Vert[/mm] bleibt natürlich auch. Doch
> woher kommt das [mm]1/n![/mm]???
> Ich werde die Frage deshalb wieder als unbeantwortet
> deklarieren.
Ich kann mich Leduart nur anschließen und nochmal wiederholen was ich oben schon gesagt habe:
.................. Manchmal muß man Dinge einfach tun .............
FRED
>
> Gruß,
> Lorenz
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Danke an leduart und fred für die weiteren Antworten. Es tut mir leid, aber ich sehe die Induktionsmöglichkeit einfach nicht. Dort wo ein $n!$ entstehen könnte, nämlich die durch n-faches integrieren einer Konstante nach $t$ entsteht bei mir nur ein [mm] $x^n$, [/mm] denn [mm] $\int_0^xdt$ [/mm] "wandelt" das $t$ ja direkt in ein $x$ "um", so dass bei weiterer integration nach $t$, der Integrant nicht $t$ (was dann zur Stammfunktion [mm] $\frac{1}{2!} t^2$ [/mm] führen und so iterativ zum [mm] $\frac{1}{n!}$), [/mm] sonder $x$, dann [mm] $x^2$, $x^3$ [/mm] usw.
Oder irre ich mich (hoffentlich)??
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:56 Do 08.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Induktionsvor.: sei n [mm] \in \IN [/mm] und
$ [mm] |T^n(y)(x)-T^n(z)(x)| \le \bruch{(Lx)^n}{n!}||y-z|| [/mm] $
n [mm] \to [/mm] n+1:
$ [mm] |T^{n+1}(y)(x)-T^{n+1}(z)(x)| \le L\integral_{0}^{x}{|T^n(y)(t)-T^n(z)(t)| dt} \le L\integral_{0}^{x}{\bruch{(Lt)^n}{n!}||y-z|| dt}= \bruch{L^{n+1}}{n!}||y-z||\integral_{0}^{x}{t^n dt}= \bruch{L^{n+1}}{n!}||y-z||\bruch{x^{n+1}}{n+1}$
[/mm]
FRED
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Hallo Fred,
ach sooo...! Herzlichen Dank, jetzt seh ichs!
Herzliche Grüße,
Lorenz
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