Integralabschätzung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Sa 03.05.2008 | | Autor: | PatrickC |
Hallo
Ich habe eine Funktion $V [mm] \in L^{3/2}(\IR^3)$ [/mm] und will prüfen, ob
[mm] $sup_{z \in R^3} \int_{B(z)} |V(x)|^2 [/mm] dx < [mm] \infty$
[/mm]
ist, wobei mit B(z) die Kugel um z mit Radius 1 gemeint ist.
Folgendes ist mein Ansatz: Sei z beliebig, und seien
X die Teilmenge, auf der $V(x) [mm] \leq [/mm] 1$
Y die Teilmenge, auf der $V(x)> 1$ gilt.
[mm] $\int_{B(x)} |V(x)|^2 [/mm] dx = [mm] \int_X |V(x)|^2 [/mm] dx + [mm] \int_Y |V(x)|^2 [/mm] dx$
Somit habe ich das erste Integral schonmal erledigt, da ich das ja durch den Volumeninhalt der Kugel abschätzen kann. Dann also zum zweiten Integral:
[mm] $\int_Y |V(x)|^2 [/mm] dx < [mm] \int_Y |V(x)|^3 [/mm] dx = [mm] \int_Y |V(x)|^{3/2} |V(x)|^{3/2} [/mm] dx =$
[mm] $\int_{\{(x,y) \in Y \times Y | x=y\} } |V(x)|^{3/2} |V(y)|^{3/2} [/mm] dxdy [mm] \leq \int_{Y \times Y} |V(x)|^{3/2} |V(y)|^{3/2} [/mm] dxdy$
ist die letzte Abschätzung zulässig? Wenn ja, dann könnte ich ja sagen, dass das letzte Integral endlich ist und durch die 3/2-Norm ausgedrückt werden kann. Insbesondere ist die Abschätzung unabhängig von z und damit wäre die Aussage gezeigt.
Irgendwie hab ich das Gefühl, dass da ein Fehler drin sein müsste.
Gruß
Patrick
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 So 04.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Patrick!
> Hallo
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> Ich habe eine Funktion [mm]V \in L^{3/2}(\IR^3)[/mm] und will
> prüfen, ob
>
> [mm]sup_{z \in R^3} \int_{B(z)} |V(x)|^2 dx < \infty[/mm]
>
> ist, wobei mit B(z) die Kugel um z mit Radius 1 gemeint
> ist.
>
> Folgendes ist mein Ansatz: Sei z beliebig, und seien
> X die Teilmenge, auf der [mm]V(x) \leq 1[/mm]
> Y die Teilmenge, auf der [mm]V(x)> 1[/mm] gilt.
>
> [mm]\int_{B(x)} |V(x)|^2 dx = \int_X |V(x)|^2 dx + \int_Y |V(x)|^2 dx[/mm]
>
> Somit habe ich das erste Integral schonmal erledigt, da ich
> das ja durch den Volumeninhalt der Kugel abschätzen kann.
> Dann also zum zweiten Integral:
Hmmm, kannst du aus [mm]V \in L^{3/2}(\IR^3)[/mm] nicht ableiten, dass Y beschränkt sein muss? Denn diese Zerlegung muss ja auch für das Integral
[mm] \int_{\IR^3} |V(x)|^{3/2} dx < \infty[/mm]
gelten, und daher auch
[mm]\int_{Y} |V(x)|^{3/2} dx < \infty[/mm]
sein.
> [mm]\int_Y |V(x)|^2 dx < \int_Y |V(x)|^3 dx = \int_Y |V(x)|^{3/2} |V(x)|^{3/2} dx =[/mm]
>
> [mm]\int_{\{(x,y) \in Y \times Y | x=y\} } |V(x)|^{3/2} |V(y)|^{3/2} dxdy \leq \int_{Y \times Y} |V(x)|^{3/2} |V(y)|^{3/2} dxdy[/mm]
>
> ist die letzte Abschätzung zulässig?
Ich bin mir nicht sicher, aber darfst du das Produktmass einfach nehmen, ohne vorher gezeigt zu haben, dass das Integral existiert?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 So 04.05.2008 | | Autor: | PatrickC |
Hallo
> Hmmm, kannst du aus [mm]V \in L^{3/2}(\IR^3)[/mm] nicht ableiten,
> dass Y beschränkt sein muss?
Ich hab vielleicht ein bisschen mit meiner Notation geschlampt. Mit Y meine ich
$Y:= [mm] \{ x \in B(z) | V(x)<1 \}$
[/mm]
$X:= [mm] \{ x \in B(z) | V(x)>1 \}$
[/mm]
also ist Y als Teilmenge einer Einheitskugel ohnehin beschränkt.
> Ich bin mir nicht sicher, aber darfst du das Produktmass
> einfach nehmen, ohne vorher gezeigt zu haben, dass das
> Integral existiert?
>
> Viele Grüße
> Rainer
Hm, berechtigtes Argument, aber ich könnte ja die andere Richtung einschlagen, und sagen:
[mm] $\int_Y \int_Y |V(x)|^{3/2} [/mm] dx [mm] |V(y)|^{3/2} [/mm] dy = [mm] \| [/mm] V [mm] \|_{3/2}^2$
[/mm]
existiert auf jeden Fall. Nach Fubini müsste dann doch auch
$ [mm] \int_{Y \times Y} |\hat{V}(x,y)|^{3/2} [/mm] d(x,y) $
mit [mm] $\hat{V}(x,y) [/mm] = V(x) V(y)$
existieren. Damit müsste auch die Abschätzung erlaubt sein.
Gruß
Patrick
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