Integral zu 1/(1+cos^2) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich moechte folgendes Integral loesen:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}\bruch{cos(\alpha)^2}{1+(cos(\alpha)^2-1)cos(\theta)^2}d\theta
[/mm]
mit [mm] \alpha \in \{0,\bruch{\pi}{2}\} [/mm] -- allerdings wird nur ueber [mm] \theta [/mm] integriert, [mm] cos(\alpha)^2 [/mm] ist also im Sinne der Integration eine Konstante.
Ich weiss nun aus einer numerischen integration, dass die Loesung
[mm] 2\pi cos(\alpha)
[/mm]
lautet.
Leider bin ich noch nicht analytisch auf dieses Ergebnis gekommen. In seiner Einfachheit muesste es doch moeglich sein, dort anzukommen - oder ist dies ein Trugschluss?
Koennte mir jemand eine Richtung aufzeigen, bitte? Eine sinnvolle Substitution, oder einen anderen Ansatz?
Vielen Dank!
PS
#cross-posts: Ich wollte diese Frage auch im Mathematica-Forum stellen (unter anderem habe ich Mathematica genutzt, um das Integral numerisch zu loesen). Allerdings ist meine Frage dort bis jetzt nicht freigeschaltet worden. Also:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo hurra_mathe,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich moechte folgendes Integral loesen:
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> [mm]\integral_{0}^{2\pi}\bruch{cos(\alpha)^2}{1+(cos(\alpha)^2-1)cos(\theta)^2}d\theta[/mm]
> mit [mm]\alpha \in \{0,\bruch{\pi}{2}\}[/mm] -- allerdings wird nur
> ueber [mm]\theta[/mm] integriert, [mm]cos(\alpha)^2[/mm] ist also im Sinne
> der Integration eine Konstante.
> Ich weiss nun aus einer numerischen integration, dass die
> Loesung
> [mm]2\pi cos(\alpha)[/mm]
> lautet.
> Leider bin ich noch nicht analytisch auf dieses Ergebnis
> gekommen. In seiner Einfachheit muesste es doch moeglich
> sein, dort anzukommen - oder ist dies ein Trugschluss?
> Koennte mir jemand eine Richtung aufzeigen, bitte? Eine
> sinnvolle Substitution, oder einen anderen Ansatz?
Das Integral kann mit dem Residuensatz zu gelöst werden.
> Vielen Dank!
>
> PS
> #cross-posts: Ich wollte diese Frage auch im
> Mathematica-Forum stellen (unter anderem habe ich
> Mathematica genutzt, um das Integral numerisch zu loesen).
> Allerdings ist meine Frage dort bis jetzt nicht
> freigeschaltet worden. Also:
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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