Integral von cos² (x) < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Fr 05.05.2006 | | Autor: | olhh |
| Aufgabe | | Berechne das Integral von cos² (x) ! Tipp: Partielle Integration |
Hallo,
wir haben an der Uni von unserem Prof im Zusammenhang mit mit part. Integration die Aufgabe erhalten, das Integral von cos² (x) zu berechnen.
Wenn ich das als cos (x) * cos (x) auffasse, kann ich part. Integration anwenden und erhalte dann
= sin x * cos x + int (sin² x) dx
Dies ist doch ein Kreislauf, aus dem ich nicht mehr herauskomme, da sich sin und cos doch immer abwechseln. Aber irgendwie muss das integral von cos² doch berechnet werden können.
Hat jemand vielleicht einen Tipp, wie ich weiterrechnen könnte?
vielen Dank 
Oliver
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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hallo oliver,
[mm] \integral_{}^{}{cos^2(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{1- sin^2(x) dx} [/mm] = x+cosx*sinx+ [mm] \integral_{}^{}{cos^2(x) dx}
[/mm]
==> 2* [mm] \integral_{}^{}{cos^2(x) dx}= [/mm] x+cosx*sinx
[mm] \integral_{}^{}{cos^2(x) dx}= [/mm] 0,5* (x+cosx*sinx)+ C
hoffe ist nachvollziehbar...
ng
Assurancetourix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 So 14.01.2007 | | Autor: | Ramosis |
Nach der Formel für die partielle Integration hast du einen dicken Fehler - (hoffe ich erzähle nun keinen Mist)
Deins:
[mm] \integral_{}^{}{cos^2(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{1- sin^2(x) dx} [/mm] = x+cosx*sinx+ [mm] \integral_{}^{}{cos^2(x) dx}
[/mm]
Fehler wäre, dass es ja heißt [mm] \integral_{}^{}{u'v dx} [/mm] = uv- [mm] \integral_{}^{}{uv'}
[/mm]
Du hast [mm] sin^2(x) [/mm] dx also falsch integriert im hinteren Teil der partiellen Integration. Es müsste heißen:
= x+cosx*sinx+ [mm] \integral_{}^{}{sin(x)*cos(x) dx}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Do 17.04.2008 | | Autor: | Kroni |
> Nach der Formel für die partielle Integration hast du einen
> dicken Fehler - (hoffe ich erzähle nun keinen Mist)
>
> Deins:
> [mm]\integral_{}^{}{cos^2(x) dx}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{1- sin^2(x) dx}[/mm]
> = x+cosx*sinx+ [mm]\integral_{}^{}{cos^2(x) dx}[/mm]
>
> Fehler wäre, dass es ja heißt [mm]\integral_{}^{}{u'v dx}[/mm] = uv-
> [mm]\integral_{}^{}{uv'}[/mm]
>
> Du hast [mm]sin^2(x)[/mm] dx also falsch integriert im hinteren Teil
> der partiellen Integration. Es müsste heißen:
>
> = x+cosx*sinx+ [mm]\integral_{}^{}{sin(x)*cos(x) dx}[/mm]
Hi, deine Argumentation ist falsch.
[mm] $\int [/mm] u'v=uv-int uv'$
u=-cos(x); v=sin(x)
u'=sin(x); v'=cos(x);
=> [mm] $\int \sin^2=\cos*\sin-\int (-\cos*cos)$ [/mm] und das führt dann zum Ergebnis.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Do 17.04.2008 | | Autor: | Bochi |
Wie kommt man darauf, dass int(cos²x) = x+ usw. ist? (SChritt in der zweiten Rechenzeile)
Ich glaub ich steh aufm Schlauch. :-D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Do 17.04.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
trignometrischer Pythagoras bringt dich hier weiter:
[mm] $\sin^2+\cos^2=1 \gdw \cos^2=1-\sin^2$. [/mm] Dann einzeln integrieren, denn es ist eine Summe.
[mm] $\int [/mm] 1 dx = x$ und [mm] $\int sin^2$ [/mm] dann partiell (s.h. weiter oben) integrieren.
LG
Kroni
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