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huhu ihr lieben mathe genies, ich hab da mal wieder was wo ich nicht weiter komme
die achsen zweier gerader kreiszylinder desselben radius r schneiden sich senkrcht. berechnen sie das volumen des durchschnittes.
also wie immer bin ich mir nicht mit meinem ansatz sicher
also ewrstmal brauch ich ja gleichungen für die zylinder: Z={(x,y,z) : x²+y² [mm] \le [/mm] r² } und C= {(x,y,z): y²+z² [mm] \le [/mm] r²}
RICHTIG?????
ja und dann weiter? setzt ich beide gleich? und nehme dass das volumen integral? und wenn ja welche grenzen? wäre schön wenn mir jemand helfen kann, danke schonmal im voraus.  ))
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Vielleicht findest du in deinem Keller oder in der Küche unterm Spültisch Rohre, die sich so kreuzen wie in deiner Aufgabe. Da kannst du einmal versuchen, dir das vorzustellen.
Das müßte ganz ohne Integralrechnung zu berechnen sein.
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Ganz ohne Integralrechnung scheint es doch nicht zu gehen. Zumindest braucht man sie in der einfachsten Form des Prinzips von Cavalieri.
Zur Berechnung des Volumens schlage ich das Folgende vor:
Die beiden Zylinder vom Radius [mm]r>0[/mm] mögen so in einem kartesischen [mm]xyz[/mm]-Koordinatensystem liegen, daß die [mm]x[/mm]-Achse und die [mm]y[/mm]-Achse die jeweiligen Rotationsachsen sind. Es sei [mm]S[/mm] der Schnittkörper der Zylinder. Jetzt betrachte Schnitte senkrecht zur [mm]z[/mm]-Achse durch die gesamte Figur. Gehe, um dir das besser vorstellen zu können, schrittweise vor:
1.
Welche Schnittfigur ergibt sich für den Zylinder, der um die [mm]x[/mm]-Achse herum liegt?
2.
Eine dazu kongruente Schnittfigur muß sich analog für den Zylinder, der um die [mm]y[/mm]-Achse herum liegt, ergeben.
3.
Der Schnitt der Schnittfiguren aus 1. und 2. muß dann die Figur beim Schnitt durch [mm]S[/mm] ergeben.
Bei 3. bekommst du einen besonders einfachen Flächentyp (eigentlich geht es nicht mehr elementarer).
Wenn dann [mm]A(z)[/mm] der Inhalt der Schnittfläche aus 3. beim Niveau [mm]z \in [ -r , r ][/mm] ist, so erhältst du das gesuchte Volumen [mm]V(S)[/mm] durch
[mm]V(S) = 2 \int_0^r~A(z)~\mathrm{d}z[/mm]
(siehe auch diesen Strang)
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