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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:22 Sa 09.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
| Aufgabe | a)Man bestimme die Stammfunktion der rationalen Funktion
[mm] f(x)=\bruch{x^5+2x^3+x^2+x-1}{x^4-1}
[/mm]
b)Man berechne das Volumen des Rotationskörpers, wenn der endliche Bereich im 1.Quadranten, der durch die Kurven [mm] x^2+y^2=9,y=0 [/mm] und [mm] y=\wurzel{8x} [/mm] begrenzt wird, um die x-Achse rotiert. |
also zunächst nur a):
ich wollte die funktion zuerst in einen echt gebrochen rationalen term umformen mittels der polynomdivision. anschließend will ich den nenner der echt gebrochen rationalen funktion in eine linearkombination zerlegen. und anschließen eine partialbruchzerlegung durchführen und dann die einzelnen summanden integrieren. doch hab ich bei der polynomdivision schon ein problem:
[mm] (x^5+2x^3+x^2+x-1):(x^4-1)=x
[/mm]
[mm] -(x^5-x)
[/mm]
_________
[mm] 2x^3+x
[/mm]
wie mach ich denn jetzt weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Sa 09.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo BlubbBlubb!
> [mm](x^5+2x^3+x^2+x-1):(x^4-1)=x+\bruch{2x^3+x^2+2x-1}{x^4-1}[/mm]
> [mm]-(x^5-x)[/mm]
> ________
> [mm]2x^3+x[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ich habe es oben auch gerade korrigiert ...
Gruß
Loddar
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also gut nun muss ich den echt gebrochen rationalen term in partialbrüche zerlegen.
dazu muss ich zunächst den nenner in linearfaktoren zerlegen (wäre es auch gut den zähler in linearfaktoren zu zerlegen um zu schauen ob sich nicht evtl. polstellen rauskürzen, ich also bei der bestimmung der konstanten bei der partialbruchzerlegung damit auch weniger konstanten zu bestimmen hab?)
um den nenner in linearfaktoren zu zerlegen muss ich die nullstellen des nenners bestimmen.
eigentlich wäre das ja
[mm] x^4-1=0
[/mm]
[mm] x_{1,2}=\pm [/mm] 1
aber meine intuition sagt mir dass dies falsch ist das richtiger wäre:
[mm] x^4-1=(x-1)*(x+1)*(x-\wurzel{-1})*(x+\wurzel{-1})
[/mm]
wie bestimm ich die linearfaktoren am besten?
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Hallo BlubbBlubb,
> also gut nun muss ich den echt gebrochen rationalen term in
> partialbrüche zerlegen.
> dazu muss ich zunächst den nenner in linearfaktoren
> zerlegen (wäre es auch gut den zähler in linearfaktoren zu
> zerlegen um zu schauen ob sich nicht evtl. polstellen
> rauskürzen, ich also bei der bestimmung der konstanten bei
> der partialbruchzerlegung damit auch weniger konstanten zu
> bestimmen hab?)
>
> um den nenner in linearfaktoren zu zerlegen muss ich die
> nullstellen des nenners bestimmen.
>
> eigentlich wäre das ja
>
> [mm]x^4-1=0[/mm]
> [mm]x_{1,2}=\pm[/mm] 1
>
> aber meine intuition sagt mir dass dies falsch ist das
> richtiger wäre:
>
> [mm]x^4-1=(x-1)*(x+1)*(x-\wurzel{-1})*(x+\wurzel{-1})[/mm]
Das ist schon richtig.
Beachte hier, daß [mm]i:=\wurzel{-1}[/mm].
Demnach ist hier:
[mm]\left(x-i\right)\left(x+i\right)=x^{2}+i*x-i*x-i^{2}=x^{2}+1[/mm]
Somit lautet die (reelle) Zerlegung von [mm]x^{4}-1[/mm]:
[mm]x^{4}-1=\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x^{2}+1\right)[/mm]
>
> wie bestimm ich die linearfaktoren am besten?
Gruß
MathePower
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> Hallo BlubbBlubb,
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> > also gut nun muss ich den echt gebrochen rationalen term in
> > partialbrüche zerlegen.
> > dazu muss ich zunächst den nenner in linearfaktoren
> > zerlegen (wäre es auch gut den zähler in linearfaktoren zu
> > zerlegen um zu schauen ob sich nicht evtl. polstellen
> > rauskürzen, ich also bei der bestimmung der konstanten bei
> > der partialbruchzerlegung damit auch weniger konstanten zu
> > bestimmen hab?)
> >
polynome zweiten grades lassen sich mit hilfe der pq formel zerlegen, polynome dritten grades durch raten einer nullstelle und anwenden der polynomdivision bzw durchs anwenden des hornerschema, polynome höher als dritten grades lassen sich nur durchs raten und durchs anwenden des hornerschemas bestimmen oder?
ich hab meinen term zerlegt, indem ich erkannt hab dass es die dritte binomische formel ist, aber um das mit einem rechenweg zu zeigen dass solche zerlegung rauskommt, müsste ich dann das hornerschema anwenden?
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> Hallo BlubbBlubb!
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> > polynome zweiten grades lassen sich mit hilfe der pq formel
> > zerlegen, polynome dritten grades durch raten einer
> > nullstelle und anwenden der polynomdivision bzw durchs
> > anwenden des hornerschema, polynome höher als dritten
> > grades lassen sich nur durchs raten und durchs anwenden des
>
>
>
>
> > ich hab meinen term zerlegt, indem ich erkannt hab dass es
> > die dritte binomische formel ist, aber um das mit einem
> > rechenweg zu zeigen dass solche zerlegung rauskommt, müsste
> > ich dann das hornerschema anwenden?
>
> Das wäre eine Möglichkeit. aber was stört Dich an der
> Variante mit der binomischen Formel?
>
>
> Gruß
> Loddar
>
ich hab die aufgabe grad versucht mit dem hornerschema zu lösen das ging nicht.aber durch zweifache anwendung der polynomdivision und anschließender pq-formel hats geklappt.
das bedeutet also, dass das hornerschema manchmal versagt.
an sich hab ich nichts gegen die anwendung der binomischen formel, ich wollt aber schauen ob man das auch mit dem hornerschema oder der polynomdivision machen kann, weil das ja zwei verfahren zur nullstellenbestimmung sind, und damit müsste man ja eigentlich jede funktion auf ihre nullstellen untersuchen können , also auch die aus dieser aufgabe.
mal angenommen es würde da stehen [mm] -2x^4-1, [/mm] dann müsste ich doch hinschreiben nachdem ich die linearfaktoren bestimmt hab:
[mm] -2*(x-x_1)*(x-x_2)*(x-x_3)*...*(x-x_n) [/mm] oder?
was für eine meinung habt ihr bzgl meiner idee den zähler auch in linearfaktoren zu zerlegen um damit evtl.polstellen zu beheben, was dazu führen würde, dass bei der späteren partialbruchzerlegung weniger konstanten zu bestimmen wären?
> > hornerschemas bestimmen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:14 So 10.08.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> ich hab die aufgabe grad versucht mit dem hornerschema zu
> lösen das ging nicht.aber durch zweifache anwendung der
> polynomdivision und anschließender pq-formel hats
> geklappt.
> das bedeutet also, dass das hornerschema manchmal versagt.
nein, es bedeutet nur, daß du etwas falsch gemacht hast. Das Horner-Schema versagt nicht.
> an sich hab ich nichts gegen die anwendung der binomischen
> formel, ich wollt aber schauen ob man das auch mit dem
> hornerschema oder der polynomdivision machen kann, weil das
> ja zwei verfahren zur nullstellenbestimmung sind, und damit
> müsste man ja eigentlich jede funktion
naja nicht ganz, aber jedenfalls jede Polynomfunktion, solange man eine Nullstelle kennt oder erraten kann.
> auf ihre
> nullstellen untersuchen können , also auch die aus dieser
> aufgabe.
genau so ist es auch.
> mal angenommen es würde da stehen [mm]-2x^4-1,[/mm] dann müsste ich
> doch hinschreiben nachdem ich die linearfaktoren bestimmt
> hab:
>
> [mm]-2*(x-x_1)*(x-x_2)*(x-x_3)*...*(x-x_n)[/mm] oder?
genau, wobei n=4 ist in diesem Fall.
> was für eine meinung habt ihr bzgl meiner idee den zähler
> auch in linearfaktoren zu zerlegen um damit evtl.polstellen
du meinst sicher: stetig hebbare Lücken. Polstellen lassen sich nicht einfach beheben.
> zu beheben, was dazu führen würde, dass bei der späteren
> partialbruchzerlegung weniger konstanten zu bestimmen
> wären?
wenn es leicht geht, mach es!
Im Erfolgsfall würde es vor allem dazu führen, daß der Ansatz kleiner wird.
LG
Will
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Es verbleibt hier [mm] $2x^3+x^2+2x-1$ [/mm] .
Partialbruchzerlegung