Integral über einen Graphen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:33 Di 24.06.2008 | | Autor: | phoboid |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral
[mm]\int_M \frac{x^2+y^2}{\sqrt{1+4z(x^2+y^2)}}dS[/mm]
über den Graphen [mm]M=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=x^2y^2, x^2+y^2 \leq 1\}[/mm] |
Die Musterlösung gibt als nächsten Schritt an,
dass das obige Integral zu [mm]\int_{B_1(0)} (x^2 + y^2) dx dy[/mm]
wird. Ich habe nur keinen Schimmer, wie man darauf kommt :/
Meine erste Idee war, den Transformationssatz zu verwenden, z.b.
mit [mm]\phi (x,y,z) = (x, y, x^2 y^2)[/mm],
doch leider wird die Determinante von [mm]d\phi[/mm] 0.
Ich bin für jeden Tipp dankbar!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=105709
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Ist
[mm]M: \ \ (x,y,z) = \varphi(u,v) \ \ \mbox{mit} \ \ (u,v) \in A[/mm]
eine stetig differenzierbare Parameterdarstellung einer Fläche [mm]M[/mm], so gilt definitionsgemäß
[mm]\int_M f(x,y,z)~\mathrm{d} \sigma = \int_A f \left( \varphi(u,v) \right) \cdot \left| \frac{\partial \varphi}{\partial u} \times \frac{\partial \varphi}{\partial v} \right|~\mathrm{d}(u,v)[/mm]
Man setzt dabei [mm]f[/mm] als stetig auf [mm]M[/mm] voraus, und natürlich sollte auf der rechten Seite [mm]A[/mm] ein sinnvoller Integrationsbereich sein. Die senkrechten Striche stehen für die euklidische Norm, das Kreuz für das Vektorprodukt im [mm]\mathbb{R}^3[/mm].
Fasse also einfach die rechte Seite der obigen Gleichung als Definition für die linke Seite auf.
In der konkreten Aufgabe ist [mm]A[/mm] der Einheitskreis:
[mm]A: \ \ u^2 + v^2 \leq 1[/mm]
Jedem [mm](u,v) \in A[/mm] wird nun ein Punkt
[mm](x,y,z) = \varphi(u,v) = (u,v,u^2 v^2)[/mm]
zugeordnet. Diese Punkte [mm](x,y,z)[/mm] bilden eine Fläche im [mm]\mathbb{R}^3[/mm], die sich über dem Einheitskreis [mm]x^2 + y^2 \leq 1[/mm] wellt. Das ist eben gerade der Graph der Funktion [mm](x,y) \mapsto z = x^2 y^2[/mm] (zur Erläuterung siehe unten bei (*)). Stelle dir ein Marmeladenglas vor, das mit einem Tuch oben bespannt ist, welches nicht ganz fest sitzt und daher Wellenlinien bildet.
Nun berechnet man
[mm]\frac{\partial \varphi}{\partial u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2uv^2 \end{pmatrix} \, , \ \ \frac{\partial \varphi}{\partial v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2u^2 v \end{pmatrix}[/mm]
Davon das Kreuzprodukt:
[mm]\frac{\partial \varphi}{\partial u} \times \frac{\partial \varphi}{\partial v} = \begin{pmatrix} -2uv^2 \\ -2u^2 v \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
und sein Betrag:
[mm]\left| \frac{\partial \varphi}{\partial u} \times \frac{\partial \varphi}{\partial v} \right| = \sqrt{4u^2 v^4 + 4u^4 v^2 + 1} = \sqrt{1 + 4u^2 v^2 \left( u^2 + v^2 \right)}[/mm]
Daher gilt gemäß obiger Definition
[mm]\int_M \frac{x^2 + y^2}{\sqrt{1 + 4z \left( x^2 + y^2 \right)}}~\mathrm{d} \sigma = \int \limits_{u^2 + v^2 \leq 1} \frac{u^2 + v^2}{\sqrt{1 + 4u^2 v^2 \left( u^2 + v^2 \right)}} \cdot \sqrt{1 + 4u^2 v^2 \left( u^2 + v^2 \right)}~\mathrm{d}(u,v)[/mm]
[mm]= \int \limits_{u^2 + v^2 \leq 1} \left( u^2 + v^2 \right)~\mathrm{d}(u,v)[/mm]
(*) Wenn dich diese Variablenumbenennungen irritieren, so betrachte das Ganze eine Dimension tiefer. Nimm etwa den Graphen der Funktion [mm]x \mapsto y = x^2[/mm] mit [mm]x \in [-1,1][/mm]. Das ist ein Stück einer Parabel. Wenn du nun diese Parabel als Kurve parametrisieren sollst, kannst du ihre Punkte [mm](x,y)[/mm] so beschreiben:
[mm](x,y) = \varphi(t) = (t,t^2) \ \ \mbox{mit} \ \ t \in[-1,1][/mm]
Dieses [mm]\varphi(t)[/mm] ist eine Parameterdarstellung der Kurve. Mit einer Variablen [mm]t[/mm] parametrisiert man eben eine Kurve, mit zwei Parametern [mm]u,v[/mm] eine Fläche.
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