Integral über eine Nullmenge < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Mi 23.05.2012 | | Autor: | krmr |
| Aufgabe | Sei [mm] $(\Omega,A,\mu)$ [/mm] ein beliebiger Maßraum. Sei [mm] $\mu [/mm] (B) =0 $ mit $B [mm] \in [/mm] A$
Sei f eine messbare Funktion.
Frage : Ist [mm] $\integral_{B}{f d\mu} [/mm] = 0 $ ? |
Ist das Integral über eine Nullmenge gleich 0? Mir fehlt leider der Ansatz um dies zu beweisen, außer B über den Indikator reinzuziehen, aber damit komm ich nicht weiter. Mir fällt aber auch kein Gegenbeispiel dazu ein.
Jemand eine Idee oder zumindest ein Hinweiß ob die Aussage stimmt?
Gruß krmr
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Mi 23.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo krmr!
> Sei [mm](\Omega,A,\mu)[/mm] ein beliebiger Maßraum. Sei [mm]\mu (B) =0[/mm]
> mit [mm]B \in A[/mm]
> Sei f eine messbare Funktion.
>
> Frage : Ist [mm]\integral_{B}{f d\mu} = 0[/mm] ?
> Ist das Integral über eine Nullmenge gleich 0? Mir fehlt
> leider der Ansatz um dies zu beweisen, außer B über den
> Indikator reinzuziehen, aber damit komm ich nicht weiter.
> Mir fällt aber auch kein Gegenbeispiel dazu ein.
>
> Jemand eine Idee oder zumindest ein Hinweiß ob die Aussage
> stimmt?
Du kannst das recht einfach aus der Definition zeigen: da f messbar ist, gibt es eine Folge [mm] $(f_n)$ [/mm] einfacher Funktionen, die punktweise und monoton wachsend gegen f konvergiert. Was ist [mm]\integral_{B}{f_n d\mu}[/mm] ?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 Mi 23.05.2012 | | Autor: | krmr |
ah ich glaube ich hab es :)
[mm] $f_n [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{l} f_n_i [/mm] * [mm] 1_{(A_i)}$ [/mm] mit [mm] $A_i \in [/mm] A $
dann ist t $ [mm] \integral_{B}{f_n d\mu} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{l} f_n_i *\mu [/mm] (Ai [mm] \cap [/mm] B) = 0$ ,da B Nullmenge.
stimmt das so?
gruß krmr
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