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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Mi 04.05.2011 | | Autor: | lloolla |
Hallo Leute
ich habe mal eine kleine Frage ich hab Probleme beim zweiten Gleichheitszeichen von:
[mm] \int_{-a}^a f(x)\,dx =\,\int_0^a f(x)\,dx [/mm] + [mm] \int_{-a}^0 f(x)\,dx
[/mm]
[mm] =\,\int_0^a f(x)\,dx+\int_0^a f(-x)\,dx [/mm] =
[mm] \begin{cases}
2\int_0^a f(x)\,dx &, \text{falls f gerade}\\
0\qquad &, \text{falls f ungerade }
\end{cases}
[/mm]
zu sagen ist noch das f(x) periodisch ist.
Ich denke es müsste doch:
[mm] \int_0^a f(x)\,dx-\int_0^a f(-x)\,dx
[/mm]
heißen oder?
vielen Dank schon mal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo lloolla, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Dass f(x) periodisch ist, tut hier nichts zur Sache (stört aber auch nicht  ).
> ich hab Probleme beim
> zweiten Gleichheitszeichen von:
>
> [mm]\int_{-a}^a f(x)\,dx =\,\int_0^a f(x)\,dx[/mm] + [mm]\int_{-a}^0 f(x)\,dx[/mm]
>
> [mm]=\,\int_0^a f(x)\,dx+\int_0^a f(-x)\,dx[/mm] =
> [mm]\begin{cases} 2\int_0^a f(x)\,dx &, \text{falls f gerade}\\
0\qquad &, \text{falls f ungerade } \end{cases}[/mm]
Mal so zwischendrin: das Ergebnis stimmt ja. Nimm als gerade Funktion [mm] f(x)=x^2 [/mm] und als ungerade [mm] f(x)=x^3 [/mm] zum Ausprobieren. Oder irgendeine andere.
> Ich denke es müsste doch:
>
> [mm]\int_0^a f(x)\,dx-\int_0^a f(-x)\,dx[/mm]
>
> heißen oder?
Das erste Gleichheitszeichen, also die Zerlegung des Integrals von -a bis a in eines von 0 bis a und ein weiteres von -a bis 0 ist ja unstrittig. Ab da gehts aber auch ein bisschen schnell weiter.
Also mal langsamer:
1) [mm] \int_{-a}^{0}{f(x)dx}=\blue{-}\int_{0}^{-a}{f(x)dx}
[/mm]
Grund für das blaue "Minus" rechts: Vertauschung der Integrationsgrenzen und damit der Integrationsrichtung.
Jetzt substituieren wir mal t=-x. Es ist [mm] \bruch{dt}{dx}=-1, [/mm] also [mm] dx=\green{-}dt.
[/mm]
2) [mm] \int_{0}^{-a}{f(x)dx}=\green{-}\int_{0}^{a}{f(-t)dt}
[/mm]
Grund für das grüne "Minus" rechts ist hier also die Substitution; es ist nur vors Integral gezogen. Nebenbei hätte man auch sagen können, dass hier die Integrationsrichtung gewechselt wird, und daher...
Insgesamt gilt also:
[mm] \int_{-a}^{0}{f(x)dx}=\blue{-}\left(\green{-}\int_{0}^{a}{f(-t)dt}\right)=\int_{0}^{a}{f(-x)dx}
[/mm]
Das blaue und grüne Minus heben einander auf, und im letzten Schritt habe ich meine Integrationsvariable einfach umbenannt. Sie hätte auch [mm] \alpha [/mm] heißen können, oder z oder sonst was. Ihr Name gilt ja sowieso nur innerhalb des Integrals und hat dort Bedeutung. Oder man könnte sagen, ich habe noch einmal substituiert, jetzt mit x=t.
Klarer?
> vielen Dank schon mal
Grüße
reverend
PS: Sorry, dass es so lange gedauert hat. Zwischendurch kam ein Anruf, dann die hungrige Katze... Bei Bedarf hätte ich noch mehr Ausreden. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Do 05.05.2011 | | Autor: | lloolla |
>PS: Sorry, dass es so lange gedauert hat. Zwischendurch kam ein Anruf, dann die hungrige Katze... Bei Bedarf hätte ich noch mehr Ausreden.
Ich hab gar nicht mit so einer schnellen Antwort gerechnet. vielen dank, war sehr gut erklärt!!
Eine Frage habe ich noch:
Warum ist die Zerteilung von [mm] \int_{-a}^a [/mm] in [mm] \int_{-a}^0 [/mm] und [mm] \int_0^{a} [/mm] denn umschritten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Do 05.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
das folgt aus der Def. des Integrals als GW einer Summe. jede Summe kannst du in 2 beliebige teilsummen unterteilen .
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 Do 05.05.2011 | | Autor: | lloolla |
Vielen Dank für die schnellen antworten!
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