Integral mit sin²(x) im Zähler < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, sorry dass ich nochmal störe...
Ich soll das Integral
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\frac{\sin^2(x)}{x^2} dx}
[/mm]
...berechnen und leider bin ich ein bisschen Aufgeschmissenen.
a) Hat es Pole auf der Reellen Achse, also kann ich schlecht über den oberen Halbkreis Integrieren.
b) Das Sinus-Quadrat stört mich ein bisschen. Eigentlich hätte ich jetzt den Imaginärteil des Integrals mit [mm] e^{ix} [/mm] genommen wenn da sin(x) stünde...Doch geht das nicht so einfach wenn das ganze Quadriert wird.
Leider kann ich auch keinen Gescheiten Ansatz präsentieren, da meine Vorüberlegung von oben schon scheitern :(
Hat jemand einen Tipp oder einen Rat? Dann rechne ich die Aufgabe hier soweit es mir möglich ist vor!
Danke im voraus
PS: Das Quadrat aus dem Bruch ziehen hat mir auch nicht geholfen irgendwie :(
PPS: Quadrat rausziehen, Laurentreihe entwickeln und diese Quadrieren hat auch keinen erfolg gebracht da in der Laurentreihe kein Hauptteil vorkommt und ich so nicht an das Residuum komme ... oder ich bin einfach zu blöd!
PPPS: Noch verwirrter macht mich ja die Tatsache, dass wir bei 0 eh keine Polstelle sondern eine hebbare Singularität haben...Wie soll das denn dann mit dem Residuensatz gehen bitte??? Rauskommen soll wohl [mm] \frac{\pi}{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Do 10.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich kann Dir folgenden Lösungsweg anbieten, allerdings mußt Du verwenden, dass
$ [mm] \integral_{0}^{\infty}{\frac{\sin(x)}{x} dx} [/mm] $ = $ [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] $
ist (ich hoffe Ihr hattet das). Wenn Du das und sin(2x) = 2sin(x)cos(x) benutzt,
kannst Du leicht zeigen, dass
$ [mm] \integral_{0}^{\infty}{\frac{\sin(x)cos(x)}{x} dx} [/mm] $ = $ [mm] \frac{\pi}{4} [/mm] $
ist.
Hierraus folgt mit partieller Integration
$ [mm] \integral_{0}^{\infty}{\frac{\sin^2(x)}{x^2} dx} [/mm] $ = $ [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] $.
Falls es Dich interessiert:
aus dem letzten Ergebnis folgt, mit 1= sin²(x) + cos²(x),
$ [mm] \integral_{0}^{\infty}{\frac{\sin^4(x)}{x^2} dx} [/mm] $ = $ [mm] \frac{\pi}{4} [/mm] $.
Und daraus
$ [mm] \integral_{0}^{\infty}{\frac{\sin^4(x)}{x^4} dx} [/mm] $ = $ [mm] \frac{\pi}{3} [/mm] $.
FRED
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