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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Mi 24.06.2009 | | Autor: | eygen |
| Aufgabe | [mm] f_k(x) = kx^2 + 2 [/mm]
A= [mm]\bruch{16}{3}[/mm]
Bestimmen Sie k so, dass das Schaubild der Funktion [mm]f_k[/mm] mit der x-Achse eine Fläche vom Flächeninhalt A einschließt. Für welche k ist die Aufgabenstellung sinnvoll? |
[mm] f_k(x) = kx^2 + 2 [/mm]
Nullstellen:
[mm] kx^2 +2 = 0 [/mm]
[mm] x^2 = - \bruch{2}{k} [/mm]
[mm] x_1_2 = \pm \wurzel{-\bruch{2}{k}} [/mm]
Da unter der Wurzel ja keine negative Zahl herauskommen darf, muss k negativ sein, damit unter der Wurzel eine positive Zahl entsteht also gilt:
k<0
Nun zum Integral:
Zunächst die Stammfunktion:
[mm] F_k(x) = \bruch{k}{3} x^3 + 2x [/mm]
Somit erhalte ich:
[mm] A= \integral_{- \wurzel{-\bruch{2}{k}}}^{ \wurzel{-\bruch{2}{k}}} f_k(x)\, dx = [\bruch{k}{3} x^3 + 2x ]_a^b [/mm]
Nun habe ich folgende Rechnung gemacht und bin mir nicht sicher, ob diese richtig ist, bzw. ob ich einen Rechen- oder Denkfehler gemacht habe.
[mm] A= \left(\bruch{k}{3} \* \left(\wurzel{-\bruch{2}{k}}\right) ^3 + 2 \left(\wurzel{-\bruch{2}{k}}\right)\right) - \left(\bruch{k}{3}*\left( - \wurzel{-\bruch{2}{k}} \right) ^3 + 2 \left( - \wurzel{-\bruch{2}{k}}) \right)\right)[/mm]
=
[mm] \left(\bruch{k}{3} \
* \left( -\bruch{2}{k}\right)
\left(\wurzel{-\bruch{2}{k}}\right)
+ 2 \wurzel{-\bruch{2}{k}}\right)
- \left( \bruch{k}{3}* \left( -\bruch{2}{k} \right) \left(- \wurzel{-\bruch{2}{k}} \right) + 2 \left( - \wurzel{-\bruch{2}{k}}\right) \right)[/mm]
= [mm]\left( -\bruch{2}{3} \* \wurzel{-\bruch{2}{k}} + 2 \* \wurzel{-\bruch{2}{k}}\right) - \left( -\bruch{2}{3} \* \left( -\wurzel{-\bruch{2}{k}} \right) + 2 \*\left(- \wurzel{-\bruch{2}{k}} \right)
\right) [/mm]
= [mm] -\bruch{2}{3} \* \wurzel{-\bruch{2}{k}} + 2 \* \wurzel{-\bruch{2}{k}} - \bruch{2}{3} \* \wurzel{-\bruch{2}{k}} - 2 \* \wurzel{-\bruch{2}{k}}
\right) [/mm]
= [mm] \wurzel{-\bruch{2}{k}} \left(- \bruch{2}{3}- \bruch{2}{3}\right)
[/mm]
= [mm] -\bruch{4}{3} \* \wurzel{-\bruch{2}{k}}
[/mm]
Also bei :
A= [mm]\bruch{16}{3} = -\bruch{4}{3} \* \wurzel{-\bruch{2}{k}}[/mm]
bekomme ich k = - [mm] \bruch{1}{8}
[/mm]
Ich habe allerdings die Lösung k = -0,5 von meinem Lehrer bekommen,
und das ist das 4-fache meiner Lösung und bin nicht auf meinen Rechenfehler gekommen! Bitte um Hilfe! Vielen Dank.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Mi 24.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]f_k(x) = kx^2 + 2[/mm]
> A= [mm]\bruch{16}{3}[/mm]
> Bestimmen Sie k so, dass das Schaubild der Funktion [mm]f_k[/mm]
> mit der x-Achse eine Fläche vom Flächeninhalt A
> einschließt. Für welche k ist die Aufgabenstellung
> sinnvoll?
> [mm]f_k(x) = kx^2 + 2[/mm]
>
> Nullstellen:
>
> [mm]kx^2 +2 = 0[/mm]
>
> [mm]x^2 = - \bruch{2}{k} [/mm]
>
> [mm]x_1_2 = \pm \wurzel{-\bruch{2}{k}}[/mm]
>
> Da unter der Wurzel ja keine negative Zahl herauskommen
> darf, muss k negativ sein, damit unter der Wurzel eine
> positive Zahl entsteht also gilt:
>
> k<0
>
> Nun zum Integral:
>
> Zunächst die Stammfunktion:
>
> [mm]F_k(x) = \bruch{k}{3} x^3 + 2x[/mm]
>
> Somit erhalte ich:
>
> [mm]A= \integral_{- \wurzel{-\bruch{2}{k}}}^{ \wurzel{-\bruch{2}{k}}} f_k(x)\, dx = [\bruch{k}{3} x^3 + 2x ]_a^b[/mm]
Das sieht mal sehr gut aus.
>
> Nun habe ich folgende Rechnung gemacht und bin mir nicht
> sicher, ob diese richtig ist, bzw. ob ich einen Rechen-
> oder Denkfehler gemacht habe.
>
>
> [mm]A= \left(\bruch{k}{3} \* \left(\wurzel{-\bruch{2}{k}}\right) ^3 + 2 \left(\wurzel{-\bruch{2}{k}}\right)\right) - \left(\bruch{k}{3}*\left( - \wurzel{-\bruch{2}{k}} \right) ^3 + 2 \left( - \wurzel{-\bruch{2}{k}}) \right)\right)[/mm]
Das ist der korrekte Ansatz.
Ich fürchte aber, du hast beim Zusammenfassen nen Dreher drin:
Also:
[mm] \bruch{16}{3}=\green{\bruch{k}{3}*\left(\wurzel{-\bruch{2}{k}}\right)^{3}+2\left(\wurzel{-\bruch{2}{k}}\right)}-\blue{\left(\bruch{k}{3}*\left(-\wurzel{-\bruch{2}{k}}\right)^{3}+2\left(- \wurzel{-\bruch{2}{k}})\right)\right)}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{16}{3}=\green{\bruch{k}{3}*\left(-\bruch{2}{k}\right)*\wurzel{-\bruch{2}{k}}+2\left(\wurzel{-\bruch{2}{k}}\right)}-\blue{\left(\bruch{k}{3}*\left(-\bruch{2}{k}\right)*\left(-\wurzel{-\bruch{2}{k}}\right)+2\left(- \wurzel{-\bruch{2}{k}})\right)\right)}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{16}{3}=\green{\left(-\bruch{2}{3}+2\right)*\wurzel{-\bruch{2}{k}}}-\blue{\left(\left(-\bruch{2}{3}+2\right)*\left(-\wurzel{-\bruch{2}{k}}\right)\right)}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{16}{3}=\green{\bruch{4}{3}\wurzel{-\bruch{2}{k}}}-\blue{-\left(\bruch{4}{3}\wurzel{-\bruch{2}{k}}\right)}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{16}{3}=\bruch{8}{3}*\wurzel{-\bruch{2}{k}}
[/mm]
[mm] \gdw 2=\wurzel{-\bruch{2}{k}}
[/mm]
Und damit komme ich dann auf k=-0,5
Marius
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