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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:32 Sa 18.06.2011 | | Autor: | Harris |
| Aufgabe | Sei [mm] G_0:=\IC\backslash \{iy:-1\le y \le 1\}
[/mm]
und
[mm] G:=G_0\cup\{\infty\}\subset\mathbb{P}
[/mm]
das Gebiet auf der Riemannschen Zahlenkugel [mm] \mathbb{P}, [/mm] das aus [mm] G_0 [/mm] durch Hinzufügen des unendlich fernen Punktes entsteht.
Man zeige:
a) G ist einfach zusammenhängend
b) Es gibt in [mm] G_0 [/mm] einen holomorphen Zweig des Logarithmus von [mm] \frac{z^2}{1+z^2}.
[/mm]
Der Zweig soll so gewählt werden, dass f(1) reell ist.
c) Man berechne das Integral
[mm] \integral_{|z|=2}{zf(z) dz}. [/mm] |
Hallo!
Ich habe seit mehreren Stunden Probleme mit dieser Aufgabe:
Zu a)
G ist offen, da das Komplement [mm] \mathcal{P}\backslash [/mm] G=[-i,i] abgeschlossen ist. Reicht hier abgeschlossenheit, oder muss Kompaktheit her?
Den einfachen Zusammenhang habe ich daraus gefolgert, dass [mm] G=U\cup [/mm] V mit zwei sich nicht schneidenden, offenen Mengen U,V sein soll. Ist nun [mm] \infty\in [/mm] U, so ist das Komplement [mm] G\backslash [/mm] U=V abgeschlossen in [mm] \IC, [/mm] und muss somit die leere Menge sein, da gleichzeitig offen und abgeschlossen. Ist [mm] \infty\notelement [/mm] U, dann gibt es einen Widerspruch auf ähnliche Weise wie gerade.
Zu b)
Da das Bild von [mm] \frac{z^2}{1+z^2} [/mm] die Menge [mm] \IC\setminus(-\infty;0] [/mm] ist, ist es einfach zusammenhängend und somit existiert ein Zweig des Logarithmus.
Erste Frage: Stimmt das soweit?
Zweite Frage: Wie gehe ich c) an? Kann ich da einfach mit [mm] log(\frac{z^2}{1+z^2}) [/mm] rechnen? Oder gehts leichter mit dem Residuensatz? Wo hat f überhaupt Singularitäten? In [mm] \pm [/mm] i, oder in ganz [-i,i]?
Sry, aber ich steh total auf dem Schlauch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 20.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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